Теория экономических игр (стр. 5 )

б1+1, если а1 больше б1;

б2+1, если а2 больше б2;

-(а1+1), если а1 меньше б1;

-(а2+1), если а2 меньше б2;

0, если а1 = б1;

0, если а2 = б2.

Найти оптимальное распределение полков противников методами теории игр.

Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры и ее решения.

15. Решите игру со следующей платежной матрицей

1	2	1	3	7
3	-5	-1	6	-2
3	2	1	4	2
-1	7	-2	-3	4

Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры и ее решения.

16. Имеются 2 карты: старшая и младшая. Игрок 1 с равной вероятностью вытаскивает одну из карт, причем делает это втайне от игрока 2. Затем игрок 1 решает: либо дать доллар второму игроку, либо играть дальше. В последнем случае игрок 2 принимает решение: либо спасовать, и тогда он дает доллар игроку 1, либо играть дальше. В последнем случае карта игрока 1 открывается, и игрок 2 платит 4 доллара игроку 1, если это оказалась старшая карта, иначе игрок 1 платит 5 долларов игроку 2. Как можно смоделировать эту игровую ситуацию в виде игры двух лиц с нулевой суммой в нормальной форме. Определите оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры и ее решения.

17. Найдите приближенное и точное решение следующих игр

а) б)

18. Два игрока, не глядя друг на друга, кладут на стол по каре красного, зеленого или синего цвета. Игроки сравнивают цвета карт и расплачиваются в соответствии с платежной матрицей игры. Определите оптимальные стратегии игроков и цену игры. Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры и ее решения.

19. Найти решение игры, предварительно упростив ее.

20. Задача о Шерлоке Холмсе и проф. Мориарти (почти по А. Конан-Дойлу)

Шерлок Холмс, скрываясь от проф. Мориарти и заскакавая в отходящий вагон поезда, следующего из Лондона в Дувр, замечает на платформе Мориарти и понимает, что проф. Мориарти замечает его («общее знание»!). Мориарти может взять специальный поезд и догнать Холмся в Дувре. Холмс может продолжить поездку в Дувр или выйти в Кентберри – единственной промежуточной станции между Лондоном и Дувром. Если Холмс достигнет Дувра, тогда как Мориарти будет поджидать его в Кентберри, то Ш. Холмс может легко скрыться за границей. Если Мориарти настигнет Холмса на любой из двух станций (Кентберри или Дувр), то исход будет самым плачевным для Холмса. Согласно принципу «общего знания», все эти исходы известны как Холмсу, так и Мориарти. «Платежи» Мориарти можно сформулировать следующим образом:

-  Встретить Холмса на платформе в Дувре или Кентберри – 100 (Холмс навсегда «выходит из игры»)

-  Разминуться с Холмсом:

-  а) Холмс вышел в Кентберри, а Мориарти ждет его в Дувре – 0 (Ничего не потеряно: Холмс остался в Англии, и Мориарти не теряет надежду найти его)

-  б) Холмс вышел в Дувре, а Мориарти ждет его в Кентберри – -50 (Холмс скрылся, и найти его будет теперь непросто)

Постройте модель данной ситуации в виде матричной игры. Найдите оптимальные решения игроков. (Для интересующихся творчеством А. Конан-Дойла: сравните Ваше решение с исходом литературного произведения).

21. Рассмотрите игру

Проверьте, что стратегии (1/6, 0, 5/6) и (49/54, 5/54, 0) являются оптимальными для игрока 1 и игрока 2 соответственно и найдите цену игры.

22. Рассмотрите игру

Сколько оптимальных стратегий имеется у игрока 1 и игрока 2.

23. Составьте платежную матрицу для известной детской игры «камень, ножницы, бумага» и найдите ее решение.

24. В системе противовоздушной обороны (ПВО) города могут применяться три типа средств поражения воздушной цели. У противника имеется два типа самолетов. Вероятность поражения самолета средством ПВО определяются матрицей

Определить оптимальное распределение средств ПВО, обеспечивающее наибольшую вероятность поражения самолетов противника.

25. Фирмы А и Б производят однородный сезонный товар, пользующийся спросом в течение n единиц времени. Доход от продажи товара в единицу времени составляет c ден. единиц. Компания Б в ходе конкурентной борьбы стремиться вытеснить компанию А с рынка сбыта, способствуя своими действиями минимизации ее дохода. При этом она не считается с временными потерями части своего дохода. Действующее законодательство не позволяет прибегать к демпинговой ценовой политике (заведомому занижению цены на товар). Единственным допустимым способом достижения своей цели для компании Б (как и компании А в целях защиты своих интересов на рынке сбыта) остается повышение качества товара и надлежащий момент поставки его на рынок. Уровень спроса на товар зависит от его качества, и реализуется на рынке тот товар, качество которого выше. Повышение же качества требует дополнительных затрат времени на совершенствование технологии его изготовления. В связи с этим предполагается, что качество товара тем выше, чем позже он поступает на рынок.

Представить ситуацию в виде игры и предложить оптимальное решение для каждой из фирм.

26. Для отопления коттеджа в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7,5 ден. ед., в мягкую зиму – 8,5 ден. ед., в обычную – 9 ден. ед., а в холодную – 9,5 ден. ед. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: в мягкую зиму достаточно 6 т., в обычную – 7 т., холодную – 8 т. Очевидно, что затраты домовладельца зависят от количества угля, запасенного им летом. При необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой, однако продать невостребованный уголь возможности не будет.

Представить ситуацию в виде игры и предложить оптимальное решение по закупке угля для домовладельца.

27. Конструкторские бюро КБ1 и КБ2 участвуют в конкурсе проектов двух бытовых приборов. В КБ1 этим заняты 4 отдела, в КБ2 – 3 отдела. Комиссия, оценивающая проекты, лучшим признает тот, которым занималось большее количество отделов, и начисляет лучшему проекту один балл. При равенстве задействованных отделов баллы не начисляются. Кроме одного балла за лучший проект, победившему КБ начисляется столько баллов, сколько отделов было занято аналогичным проектом в конкурирующем КБ. Общее количество баллов каждого КБ равняется сумме баллов, набранных по обоим проектам.

Представить ситуацию в виде игры и предложить оптимальное решение по разработке проектов

28. В зависимости от характера зимы потребление мазута на теплоэлектростанции составляет 7, 8 или 9 топл. ед. Отпускная цена мазута – 4 ден. ед. за топл. ед. Если заготовленного мазута окажется недостаточно, то придется закупить недостающее количество мазута по отпускной цене. Если запас превысит потребность, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ден. ед. за 1 топл. ед. мазута.

Представить ситуацию в виде игры и предложить оптимальное решение по закупке мазута.

29. Магазин может закупить для реализации 10, 15 или 20 т. скоропортящегося товара по цене 30 руб./кг. В зависимости от уровня спроса в день реализации (пониженный, умеренный, повышенный) может быть продано 10, 15 или 20 т. товара по цене 50 руб./кг. Остаток товара может быть реализован на следующий день по цене 20 руб./кг.

Представить ситуацию в виде игры и предложить оптимальное решение по закупке товара.

30. В новом жилом массиве создается ателье для ремонта теле-видеоаппаратуры. Для упрощения примем, что поток заявок на ремонт может составить 2,4, 6 и 8 тыс. в год. Накопленный опыт аналогичных предприятий показывает, что средняя прибыль от реализации одной заявки составляет 90 руб., потери, выхванные отказом в ремонте из-за недостатка мощностей, оцениваются в 50 руб., а убытки от простоя специалистов и оборудования при отсутствии заявок обходятся в 60 руб. в расчете на каждую недополученную заявку.

Представить ситуацию в виде игры и предложить рекомендации о мощности создаваемого ателье.

Тема 4.

1. Решить игру «студент-преподаватель», в которой выигрыши игроков задаются следующими матрицами:

Студент		Преподаватель
	зачет	незачет			зачет	незачет
готов	2	-1		готов	1	-3
не готов	1	0		не готов	-2	-1

Какую экономическую интерпретацию такой игры и ее решения Вы можете предложить?

2. Решить игру «семейный спор», в которой выигрыши игроков задаются следующими матрицами:

Муж		Жена
	футбол	театр			футбол	театр
футбол	2	0		футбол	1	0
театр	0	1		театр	0	2

Какую экономическую интерпретацию подобной игры и ее решения Вы можете предложить?