Основы теории вероятности и математической статистики (стр. 2 )

5. Случайная величина Х значения 1, 2, 3, 4, причём Р(х=1)=0,4; Р(х=2)=0,3; Р(х=3)=0,2. Найдите Р(х=4), Р(х>2), Р(х).

6. Вычислить математическое ожидание количества устройств, которые поломались во время испытания на надёжность, если испытанию подлежит одно устройство, и вероятность его поломки равна р.

7. Дан закон распределения случайной величины х. Найти М(-2х+3): 1) используя свойства математического ожидания; 2) составить закон распределения случайной величины -2х+3.

х	-2	0	1	3
р	0,3	0,2	0,4	0,1

·  Обзор темы

·  Актуализация опорных знаний

Перед изучением этой темы не встречались с понятием вероятности (в строгом её определении), но у них присутствует некоторое понимание этого понятия. На вопрос: какое из событий вероятнее… - они будут иметь некоторую точку зрения.

На вступительном уроке предполагается актуализация их первичных понятий о вероятности. Актуализация проводится в виде теста:

1. Мальчик, играя в лотерею много раз, постоянно проигрывал. Он не падает духом и рассуждает так. В таких играх, как лотерея, иногда проигрываешь, иногда выигрываешь. Я проиграл много раз, поэтому у меня теперь больше надежды на выигрыш, чем у тех, кто выигрывал раньше. Согласны ли вы с ним?

А. нет

Б. да

В. ваш вариант

Г. нельзя ответить

2. Мария выиграла в «Спортлото», когда зачеркнула числа 1, 7, 13, 21, что лучше зачеркнуть эти «счастливые» числа в следующем розыгрыше, или выбрать другие числа?

А. зачеркнуть те же

Б. зачеркнуть новые

В. всё равно

Г. нельзя ответить

3. Играя в «Спортлото», Аня зачеркнула пять последовательных чисел, а Оля пять произвольных чисел. У кого из них больше шансов выиграть?

А. У Ани

Б. У Оли

В. шансы равны

Г. ответ отличен от приведенных

4. Старшая сестра предлагает младшей поиграть в такую игру: обе не глядя, вытягивают по одному шарику из своих коробок, выигрывает та, которая вытянула белый шарик. В коробке у старшей сестры 4 белых и 2 чёрных шарика. У младшей – 2 белых и 1 чёрный. Младшая думает, что так как старшая сестра умная, то скорее всего выиграет. Как думаете вы?

А. выиграет старшая

Б. выиграет младшая

В. шансы на выигрыш равны

Г. ответ отличен от приведенных

5. Толя и Дима играют по тем же правилам, что и девочки из предыдущей задачи. У Толи 5 белых и 10 чёрных шариков. У Димы 10 белых и 20 чёрных шариков. У кого больше шансов на выигрыш?

А. У Толи

Б. У Димы

В. шансы равны

Г. ответ отличен от приведенных

6. В коробке лежат 4 чёрных, 3 зелёных и 2 синих карандаша. Какое наименьшее число карандашей нужно взять не глядя, чтобы в их числе обязательно было хотя бы по одному карандашу каждого цвета?

А. 8

Б. 6

В. 3

Г. ответ отличен от приведенных

3.  Организация начала и конца обычного урока.

Тема урока: «Условные вероятности»

На прошлом уроке изучали классическое определение вероятности(при этом разбиралось и геометрическое определение вероятности).

·  Актуализация знаний

1.  Куб со стороной 5 единиц составлен из 125 белых и чёрных единичных кубиков так, что любые два соседние (по граням) кубика имеют разный цвет. Угловые кубики чёрные. После того, как он рассыпался на единичные кубики, наугад взяли один. Какова вероятность того, что он: 1) чёрный; 2) белый?

2. Вонзаем иголку в картинку. Какова вероятность попадания иголки на заштрихованную часть?

Предлагается решить задачи самостоятельно. В это время учитель просматривает домашние задания учеников, отмечает тех, кто вовсе не брался за д/з. Те задачи, которые не получились у большинства, рассматриваются на доске.

Далее проводится разбор задач, данных в начале урока.

Цель урока: познакомить учащихся с понятием условной вероятности( с иллюстрацией прикладной направленности понятия); научить учащихся решать задачи, используя условную вероятность.

Мотивация. Часто произойдёт событие или нет, зависит от того: произойдет ли другое событие. Например, чтобы получить права водить машину, нужно сдать теоретический экзамен и вождение. То есть получение прав зависит от того: сдал ли ты оба экзамена или нет.

В жизни многие события зависят от других событий. Вероятностный аппарат таких событий важен в теории вероятности.

Затем на уроке разбирается несколько задач на эту тему.

Задание домашнего задания.

Решить задачи:

1. На некотором предприятии 96% продукции считается качественной. Из качественных продуктов в среднем 75% составляют продукты первого сорта, остальные – второго. Найдите вероятность того, что продукт, произведенный на этом предприятии окажется второсортным.

2. В апреле 20% дождливых дней. В следствии долгих наблюдений было замечено, что некоторая футбольная команда в ясный день побеждает с вероятностью 0,4, а в непогоду – с вероятностью 0,56.

1)  Найдите вероятность того, что в некоторый апрельский день будет дождь и футбольная команда в этот день выиграет.

2)  Какова вероятность того, что эта команда победит в наугад выбранный апрельский день.

3)  Известно, что команда выиграет матч в апреле. Какова вероятность того, что день был дождливым.

4.  Заключительный урок по теме.

·  Повторение и систематизация учебного материала

а) Повторение теоретического материала:

·  понятия: случайный опыт, частота события, статистический стойкий опыт, вероятность, достоверное событие, независимое событие, пересечение и объединение событий, случайная величина, закон распределения, сумма и произведение случайных величин, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение;

·  теоремы: вероятность суммы, условная вероятность, свойства мат ожидания, свойства дисперсии.

Для повторения этого материала можно предложить следующую систему упражнений:

1. В семье три ребёнка. Считается, что вероятность рождения мальчика или девочки одинаковы. Найдите вероятность того, что все дети в этой семье мальчики.

2. Тест содержит для каждого задания 4 варианта ответа. Таким образом, если ученик знает правильный ответ, то для него вероятность правильного ответа равна 1; если он просто угадывает, то вероятность правильного ответа равна 0,25. Старательный ученик знает 90%, средний – 50%.

1)  Чему равна вероятность того, что старательный (средний) ученик ответил правильно на произвольно выбранный вопрос;

2)  Старательный (средний) ученик правильно ответит на вопрос. Какова вероятность того, что он угадал ответ.

3. Симметричную монету подбрасывают трижды. Будут ли независимы события: «при первом подбрасывании выпадет герб» и «выпадет не меньше, чем два герба».

4. Из чисел от 1 до 20 наугад выбирают одно число. 1) Составьте закон распределения количества делителей выбранного числа; 2) вычислить вероятность того, что число имеет не менее, чем 3 делителя.

5. Спортсмен делает три выстрела по мишени. Вероятность попадания каждого выстрела в цель равна 0,4; 0,3; 0,2. Найти среднее число промахов.

6. Вычислить дисперсию для данных из предыдущей задачи.

7. Дисперсия каждой из 9 попарно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

·  Подведение итогов изучения темы

В результате изучения темы были заложены основы работы со статистическим материалом, сформировано представление о вероятностном характере законов природы и общества, ученики научились строить простейшие вероятностные модели реальных ситуаций.

Учащиеся приобрели следующие навыки:

·  оценивать вероятность события по его относительной частоте и наоборот;

·  оценивать числовые характеристики случайных величин по выборочным характеристикам и наоборот;

·  вычислять вероятность события, используя её определение и простейшие свойства;

·  составлять законы распределения случайных величин в простейших случаях;

·  вычислять мат ожидание и дисперсию случайных величин по закону её распределения, а также пользуясь свойствами мат ожидания и дисперсии.

·  Заключительная беседа

Теория вероятности начала развиваться от азартных игр. Друг Блеза Паскаля, де Мере придумал такую разновидность игры в кости. Он ставил на то, что при 4 подбрасываниях кубика выпадет один раз 6. Паскаль посчитал вероятность выигрыша. Скоро у де Мере не было соперников в его игре. В начале ХІХ века П. Лаплас предложил классическое определение вероятности. Давно было замечено, что вероятность рождения мальчиков, допустим в некотором городе, приблизительно равна 0,511. Лаплас задумался, почему в Париже она была немного меньше этого числа.