Методы структурного анализа материалов и контроль качества деталей (стр. 4 )

Тогда семейству атомных плоскостей в кристалле отвечает в обратном пространстве набор коллинеарных векторов, модули которых кратны обратной величине межплоскостного расстояния в данном семействе.

… = 1/d, 2/d, 3/d …

Точки (концы этих векторов) образуют узловую прямую, перпендикулярную данным плоскостям, и расположены с правильной периодичностью (1/d), как схематически показано на рис. 13. Каждому семейству плоскостей (hkl) в кристалле соответствует свое направление векторов обратного пространства, модуль которых кратен 1/dhkl или свой узловой ряд с межузельным промежутком (периодом) 1/dhkl.

Рис. 13. Взаимная ориентация узловых плоскостей (hkl) в кристалле
и узловой прямой в обратном пространстве, содержащей узел
с теми же индексами hkl

На рисунке 14 изображен плоский пучок векторов, концы которых образуют узловые ряды, нормальные к атомным плоскостям одной кристаллографической зоны.

image description

Рис. 14. Узловые плоскости (001) моноклинного кристалла и (001)
его обратной решетки. Показаны пунктиром следы плоскостей,
перпендикулярных плоскости чертежа. Радиусы-векторы узлов
обратной решетки направлены по нормалям к атомным плоскостям,
пересекающимся по направлению (001)

Видно, что узлы образуют правильную периодическую плоскую сетку. Периодичности и ориентации в кристалле атомных плоскостей других зон оказываются такими, что их «отражение» узловыми нормалями в обратном пространстве обязательно дает трехмерную периодическую узловую решетку – обратную решетку. Узлы этой решетки, ближайшие к начальному, нулевому узлу, отвечают семействам атомных плоскостей с наибольшими для данного кристалла межплоскостными расстояниями.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если должным образом выбрать естественную для этой решетки координатную систему и осевые единицы, то координаты всех узлов будут только целыми числами. Такой удобной системой координат оказывается система, в которой осевые векторы связаны с координатными плоскостями (100), (010) и (001) атомной решетки. Межплоскостные расстояния для них равны объему Ω элементарной ячейки (Ω = []) деленному на площадь соответствующей ее грани. Так, для плоскостей {100}.

Отсюда осевые векторы обратной решетки, модули которых обратны этим величинам:

(14)

Эти выражения дают как модули осевых векторов, так и их направления относительно осевых векторов атомной решетки. Для кристаллов кубической, тетрагональной и орторомбической систем одноименные осевые векторы атомной и обратной решеток параллельны один другому, для кристаллов других систем они, как правило, не параллельны. Любой вектор обратной решетки можно представить как векторную сумму его осевых составляющих:

где h, k, 1 – координаты вектора в осевых единицах.

Из выражений (14) вытекают следующие простые соотношения между осевыми векторами атомной и обратной решеток:

Поскольку эти соотношения, как и (14), остаются справедливыми после замены векторов без звездочек векторами со звездочками и наоборот, две решетки взаимно обратны, т. е. и атомная решетка является обратной по отношению к обратной решетке.

Таким образом, мы установили жесткую взаимную связь между периодами, симметрией и ориентировками двух решеток – реальной атомнокристаллической и воображаемой обратной. Во всех случаях обе решетки принадлежат одной и той же сингонии.

Из всего этого можно вынести очень важные для нас правила.

1. Вектор с координатами [hkl в обратной решетке перпендикулярен атомной плоскости с теми же индексами (hkl); то же относится и к плоскости (UVW обратной решетки и нормали к ней [UVW] в атомной решетке.

2. Каждому семейству атомных плоскостей (hkl) c межплоскостным расстоянием d отвечает в обратной решетке вектор, перпендикулярный этим плоскостям и имеющий координаты hkl и модуль 1/d.

Примеры построения моделей обратных решеток

Точка с целочисленными координатами hkl в обратном пространстве приобретает физический смысл и становится узлом обратной решетки, если в кристалле имеется семейство атомных плоскостей (hkl), перпендикулярных радиусу-вектору этой точки и расположенных с периодичностью

dhkl = 1 / ghkl.

Это условие выполняется для всех точек с целочисленными координатами в обратном пространстве кристалла с простой атомной решеткой.

Структуру обратной решетки можно наглядно представить с помощью модели, в которой радиусы-векторы узлов направлены нормально к атомным плоскостям соответствующих семейств в кристалле и имеют модули, обратно пропорциональные d в этих семействах. Для построения такой модели нужно, прежде всего, определить последовательный ряд межплоскостных расстояний в кристалле, начиная с наибольшего, которому отвечает узел обратной решетки, ближайший к началу координат – узлу 000. Среди близких к началу узлов обычно оказываются и узлы в направлениях и в которых лежат осевые векторы

Модули векторов обратной решетки можно найти аналитически или графически. Расчет ведут по формулам для межплоскостных расстояний в соответствующих семействах плоскостей. Графически dhkl находят по нормальной проекции всех узлов атомной решетки на какую-либо плоскость, перпендикулярную данному семейству; dm есть расстояние между линиями – следами плоскостей этого семейства, заселенных одинаково густо атомами одного и того же сорта. Такое построение особенно легко проделать для кристаллов высших сингоний, образованных атомами одного элемента.

Модель обратной решетки ОЦК кристалла

На рисунке 15,а показана элементарная ячейка атомной решетки ОЦК кристалла.

Осевые единицы обратной решетки равны и, кроме того, ||а, ||b, ||с.

Найдем узлы обратной решетки на некоторых основных направлениях и построим модель небольшого участка этой решетки.

Межплоскостное расстояние в семействе плоскостей (100), как видно на рис. 15,б, присутствием второго базисного атома с координатами 1/2 делится пополам и становится равным = d / 2 = = 1 / 2.

Модуль радиуса-вектора первого узла на направлении вектора будет || 2 / а = а его координаты – 200.

Симметрия решетки позволяет по всем трем кубическим осям расположить ближайшие узлы на таких же расстояниях (рис. 15,в).

По направлению [110] межплоскостное расстояние в семействе плоскостей (110), как видно на том же рис. 15,в, составляет = d = / 2 и первый узел на направлении в обратной решетке расположен на расстоянии || = / 2 = (1 / a) =
=

Очевидно, что координаты этого узла 1 1 0, или в осевых единицах 110. Аналогично расположены на двух других координатных плоскостях узлы 011 и 101 (рис. 15,г).

Как видно на сечении (рис. 15,д), в семействе плоскостей (111) = / 6. Ближайший к нулевому узел обратной решетки на направлении [ расположен на расстоянии || = = = (1/a) 2 = и, следовательно, имеет координаты 2 2 2 т. е. 222 (рис. 15,е).