,
где mo- масса покоя частицы, v - скорость частицы.
В нерелятивистском случае
,
где Ек - кинетическая энергия частицы
.
2. Соотношения неопределенностей:
)
ћ (для координаты и импульса),
где 
- неопределенность проекции импульса на ось x, 
- неопределенность координаты x;
б) 
ћ ( для энергии и времени),
где 
- неопределенность энергии;
t - время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.
3. Нерелятивистское уравнение Шредингера относительно основной характеристики состояния микрообъектов – волновой функции 
имеет вид:
 |
 |
 |
|
4. Стационарное уравнение Шредингера обычно записывают в виде:
Явный вид стационарного уравнения Шредингера определяется конкретной зависимостью 
.
Примеры решения задач по теме
«Волновые свойства частиц»
Задача 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U1 = 51 B; 2) U2 = 510 кВ.
Дано:
электрон
U1 = 51 B;
U2 = 510 кВ = 5,1.10 5 В .
_________________
- ?
Решение
Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой:
, (1)
где h - постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Ек . Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше энергии ее покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
, (2)
где mo - масса частицы.
В релятивистском случае
, (3)
Где 
- энергия покоя частицы.
Запишем Формулу (1) с учетом соотношений (2) и (3)
в нерелятивистском случае:
, (4)
в релятивистском случае:
. (5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов 
и 
, с энергией покоя электрона..
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна
В первом случае
,
что много меньше энергии покоя электрона.
Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что 
.
Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
.
Учитывая, что выражение 
есть комптоновская длина волны 
, получим
.
.
Во втором случае кинетическая энергия
.
Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5).
Учитывая, что 
,
по формуле (5) найдем длину волны де Бройля:
,
или 
.
Ответ: длинf волны де Бройля в первом случае равна 171 пм, во втором случае длина волны де Бройля равна 1,4 пм.
Задача 2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома.
Дано:
__________________________________
Решение.
Соотношение неопределенностей для координаты и импульса 
имеет вид
, (1)
где 
- неопределенность импульса частицы (электрона),
- неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона), ħ - приведенная постоянная Планка.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры 
, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью
. (2)
В этом случае соотношение неопределенностей можно записать в виде
, (3)
откуда
(4)
Физически разумная неопределенность импульса не должна превышать значение самого импульса, т. е.
. (5)
Импульс связан с кинетической энергией соотношением:
. (6)
C учетом выражений (5) и (6) перейдем к равенству
. (7)
Произведем вычисления, получим:
Ответ: минимальные размеры атома составляют 
.
Атом водорода по Бору
и его квантово-механическое описание
Основные законы и формулы
1. Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре излучения атома водорода,
или 
,
где 
- частота спектральных линий в спектре атома водорода;
– постоянная Ридберга;
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 |
