где m –масса материальной точки; 
- круговая частота; х – смещение материальной точки от положения равновесия; k – упругость.
2. a) Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки
,
где x – смещение; A – амплитуда колебаний; w – круговая частота; j – начальная фаза.
б) Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания
;
.
3. Период колебаний:
а) тела, подвешенного на пружине
,
где m – масса тела; к – жесткость пружины;
б) математического маятника
,
где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения;
в) физического маятника
,
где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси вращения;
– расстояние центра тяжести маятника от оси вращения;
– приведенная длина физического маятника.
4. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:
а) амплитуда результирующего колебания
;
б) начальная фаза результирующего колебания
.
5. Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,( , )
а) 
, (если разность фаз 
);
б) 
, (если разность фаз 
);
в) 
- 1 (если разность фаз 
)
6.Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m
,
где - круговая частота; х – смещение точки от положения равновесия.
7. Кинетическая энергия точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания,
,
где m –масса материальной точки; - круговая частота; V – скорость материальной точки; А – амплитуда колебаний; 
- начальная фаза.
8. Потенциальная энергия точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания,
,
где m –масса материальной точки; - круговая частота; х – смещение точки от положения равновесия;; А – амплитуда колебаний; - начальная фаза.
9. Механическая энергия
.
10. Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний:
,
где l – длина волны.
11. Связь между длиной волны 
, периодом Т колебаний и частотой 
:
,
где 
- скорость распространения колебаний в среде
(фазовая скорость).
12. Волновое число
,
где l – длина волны; - фазовая скорость; Т – период колебаний.
13. Уравнение плоской бегущей волны
,
где y – смещение любой из точек среды с координатой x в момент t;
u – скорость распространения колебаний в среде.
или
,
где y – смещение точек среды с координатой x в момент времени t;
А – амплитуда волны; 
- циклическая (круговая) частота; k – волновое число; 
- начальная фаза колебаний.
14. Фазовая 
и групповая (
) скорости и связь между ними:
,
где - циклическая (круговая) частота; k – волновое число; - длина волны.
15. Уравнение стоячей волны
.
16. Координаты пучностей и узлов стоячей волны:
, 
.
17. Эффект Доплера в акустике:
,
где - частота звука, воспринимаемая движущимся приемником;
- частота звука, посылаемого источником;
- скорость движения приемника звука;
- скорость движения источник звука;
- скорость звука.
Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак – в случае их взаимного удаления.
Примеры решения задач по теме
«Механические колебания и волны»
Задача 1. К невесомой пружине, коэффициент упругости которой 200 Н/м, прикреплен груз массой 1 кг. Груз смещен на 10 см от положения равновесия, после чего предоставлен себе. Определить наибольшее и наименьшее ускорения груза. Трением пренебречь.
Дано:
k = 200 Н/м
m = 1 кг
А0 = 10 см = 0,1 м
amах - ?; amin - ?
Решение.
Под действием силы упругости груз совершает свободное гармоническое колебание, уравнение которого запишем в виде:
. (1)
где А0 – амплитуда колебания, w – циклическая частота.
Продифференцировав выражение (1) по времени, определим скорость груза
, (2)
после дифференцирования скорости по времени определим ускорение:
. (3)
Так как
(4)
то:
. (5)
Ускорение имеет максимальное значение при x = A0 , т. е. при наибольшем отклонении от положения равновесия:
. (6)
В положении равновесия при x = 0 ускорение 
.
Проверка размерности расчетной формулы:
.
Подставляя числовые значения в выражение (6), получим:
.
Ответ: наибольшее ускорение груза равно 20 
, наименьшее ускорение груза равно нулю.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 |
