Методические указания и варианты курсовой работы по дисциплине «Вариационные методы в математической физике» (стр. 10 )

Второй интеграл в выражении LHS1 есть, очевидно,

> I2:=subs(op(2,LHS1)=diff(U1(y, n),y, y),op(2,LHS1));

Таким образом, уравнение для трансформанты получено:

> ode1 := I2+I1 = rhs(intPDE1);

Сформируем граничные условия

> int(lhs(bc1[3])*X(x, n),x = 0 .. 1) =

int(rhs(bc1[3])*X(x, n),x = 0 .. 1);

> bcODE1:=simplify({subs(lhs(%) = U1(0,n), %)},

assume = integer);

> int(lhs(bc1[4])*X(x, n),x = 0 .. 1) =

int(rhs(bc1[4])*X(x, n),x = 0 .. 1);

> simplify({subs(lhs(%) = U1(2,n), %)},

assume = integer);

> bcODE1 := `union`(bcODE1, %);

Находим трансформанту

> res := dsolve(ode1, U1(y, n));

Удобно записать общее решение ОДУ так

> V1:=proc(y) options operator, arrow;

C1*sinh(n*Pi*y)+C2*sinh(n*Pi*(2-y))+

(-1+cos(1)*(-1)^n)*y/(-2*n*Pi+2*n^3*Pi^3)

end proc;

Проверим

> subs(U1(y, n) = V1(y), ode1);

simplify(subs(U1(y, n) = V1(y), ode1));

Все в порядке!

Формируем систему уравнений по граничным условиям

> subs({U1(0,n) = V1(0), U1(2,n) = V1(2)}, bcODE1);

Решаем систему

> solve(%, {C1, C2}); assign(%):

Проверка:

> subs(U1(y, n) = V1(y), ode1): simplify(%);

Итак, трансформанта найдена:

> U1 := unapply(V1(y), y, n);

Решение задачи 1 дается следующим рядом

> u1:=proc(x, y) options operator, arrow;

2*(Sum(U1(y, n)*X(x, n), n = 1 .. infinity))

end proc;

> u1(x, y);

Проверим найденное решение. Подставим решение в уравнение; отдельно рассмотрим левую и правую части уравнения. Левая часть:

> LHSpde := combine(lhs(pde1)); RHSpde := rhs(pde1);

Упростим левую часть уравнения:

> op(1, LHSpde);

> numer(op(1, LHSpde));

> expand(%);

> factor(%);

Таким образом, левая часть ДУЧП имеет вид

> LHSpde:=Sum(-2*Pi*n*y*sin(n*Pi*x)*(-1+cos(1)*

(-1)^n)/(-2+2*n^2*Pi^2), n=1..infinity);

Правая часть уравнения:

> RHSpde := rhs(pde1);

Покажем, что левая часть уравнения совпадает с правой частью, т. е.

> 1/2*y*cos(x)=Sum(-2*Pi*n*y*sin(n*Pi*x)*(-1+cos(1)*

(-1)^n)/(-2+2*n^2*Pi^2),n = 1 .. infinity);

Для этого разложим функцию в ряд по собственным функциям на отрезке . Коэффициенты разложения:

> 2*int(1/2*y*cos(x)*sin(n*Pi*x), x = 0 .. 1);

simplify(%, assume = integer);

Таким образом, уравнение выполняется.

Проверим выполнение граничных условий.

Граничные условия по переменной :

> simplify(u1(0,y), assume = integer);

simplify(u1(1,y), assume = integer);

Граничные условия по переменной :

> u1(x,0);

Это — разложение граничной функции в ряд по функциям на отрезке . Действительно, коэффициенты разложения

> 2*int(f(x,0)*sin(n*Pi*x), x = 0 .. 1);

simplify(%, assume = integer);

Далее,

> u1(x,2);

Это — разложение граничной функции в ряд по функциям на отрезке . Действительно, преобразуем общий член ряда

> q:=op(2, u1(x,2));

> q:=op(1,q);

> op(1,q);

> q:=%: combine(q);

Таким образом, мы имеем ряд

> 'u1(x,2)'=2*Sum(%*sin(n*Pi*x),n=1..infinity);

Коэффициенты разложения граничной функции в ряд по функциям на отрезке :

> 2*int(f(x,2)*sin(n*Pi*x), x = 0 .. 1);

simplify(%, assume = integer);

что и требовалось доказать.

Итак, решение задачи 1 найдено. Читателю предлагается построить решение задачи 2 самостоятельно, в качестве упражнения. Приведем формулу этого решения, полученную в Maple

,

где

.

Окончательно решение задачи дается суммой решений задачи 1 и задачи 2: .

Рекомендуемая литература

1.  Голоскоков математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2004. – 539 с.

2.  Голоскоков курс математической физики в системе Maple. Учебн. пособие. – СПб.: , 2010. – 640 с.

3.  Голоскоков курс математической физики. Учебн. пособие. – СПб.: СПГУВК, 2007. – 214 с.

4.  , Шкадова методы математической физики. Учебн. пособие. – СПб.: СПГУВК, 2009. – 94 с.

5.  , Фомин исчисление. – М., Наука, 1969.

6.  , , Киселёв исчисление. – М., Наука, 1973.

7.  Михлин методы в математической физике. – М., ГИТТЛ, 1957.

8.  Цлаф исчисление и интегральные уравнения. – М., Наука, 1970.

9.  , , Державин материалов: Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 1995. – 560с.

10.  , Потапов теории упругости и пластичности: Учеб. для строит. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990. – 400 с.

Методические указания

и

варианты курсовой работы

по дисциплине

«ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ»