Методические указания и варианты курсовой работы по дисциплине «Вариационные методы в математической физике» (стр. 3 )

. (19)

Сформулированная задача Неймана равносильна задаче о минимуме функционала (16).

Краевое условие (17) — естественное, поэтому нет нужды ему удовлетворять заранее, отыскивая минимум функционала (16).

Третья краевая задача для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона (14) и краевому условию

(20)

на границе S области Ω. Здесь областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области и которые удовлетворяют краевому условию (20).

Сформулированная третья краевая задача равносильна задаче о минимуме функционала

. (21)

Краевое условие (20) – естественное.

Часто приходится решать уравнение Лапласа с сопутствующим ему неоднородным краевым условием. Приведем формулировки основных задач в этом случае.

Интегрирование уравнения Лапласа в области Ω при краевом условии (задача Дирихле)

(22)

приводит к отысканию минимума функционала

(23)

на множестве функций, удовлетворяющих условию (22); если краевое условие имеет вид (задача Неймана)

, (24)

то задача сводится к отысканию минимума функционала

(25)

на множестве функций, которые никаким краевым условиям не подчинены. Добавим к этому, что в случае краевого условия смешанного типа (третья краевая задача)

, (26)

соответствующий функционал имеет вид

. (27)

Метод Бубнова–Галеркина

Метод Бубнова–Галеркина можно рассматривать как обобщение метода Ритца для уравнений вида (6), где оператор А не обязательно положительный.

Пусть неизвестная функция u(P) удовлетворяет в некоторой области Ω неоднородному уравнению

(28)

и, может быть, некоторым однородным граничным условиям.

Выберем бесконечную последовательность координатных функций φ1, φ2, …, φn, …, которые достаточное число раз (в соответствии с данными задачи) непрерывно дифференцируемы в замкнутой области и которые удовлетворяют всем краевым условиям нашей задачи. Как обычно, через S обозначена граница области Ω.

Будем считать, что как уравнение (28), так и соответствующие ему краевые условия — линейные, тогда функция (10) удовлетворяет всем краевым условиям.

По методу Бубнова–Галеркина коэффициенты aj определяются из требования, чтобы левая часть уравнения (28) стала, после подстановки в нее un(P) вместо u(P), ортогональной к функциям φ1, φ2, …, φn.

Метод Бубнова–Галеркина тем самым приводит к системе линейных алгебраических уравнений, которая по виду тождественна с системой (13) метода Ритца. Отсюда нетрудно заключить, что методы Бубнова–Галеркина и Ритца совпадают, если оператор А положительно определенный. В общем же случае метод Ритца неприменим, тогда как метод Бубнова–Галеркина сохраняет силу.

О координатных функциях

Применение приближенных методов требует предварительного выбора системы координатных функций. От удачного или не удачного выбора такой системы зависит успех приближенного метода. Выскажем некоторые соображения, которые могут быть полезны на практике [3]:

Система функций (x – a)m(b – x)mxk полна по энергии оператора

при краевых условиях u(k)(a) = u(k)(b) = 0, k = 0,1,2,…,(m – 1).

Пусть в некоторой области Ω рассматривается задача Дирихле для уравнения Пуассона при условии, что на границе S области Ω искомая функция равна нулю.

Полную по энергии систему координатных функций можно построить таким образом. Пусть w(x,y) — функция, равная нулю в точках границы S и положительная во внутренних точках области Ω; примем еще, что эта функция непрерывна в замкнутой области , а ее первые производные непрерывны и ограничены внутри Ω. Тогда система функций w(x,y)xkyl, k,l = 1,2,… полна по энергии в Ω.

Варианты заданий для курсовой работы

Вариант № 1.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

1.  Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

2.  Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Уравнение

описывает отклонение балки, покоящейся на упругом основании жесткостью k. Здесь EJ — постоянная жесткость балки на изгиб, а q — поперечная нагрузка на единицу ее длины.

1.  Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании [9].

2.  Пусть балка имеет единичную длину и свободно оперта на концах. Краевые условия, соответствующие свободно опертой балке, имеют вид при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти отклонение балки, если .

3.  Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.

Вариант № 2.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

1.  Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

2.  Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Уравнение

описывает отклонение балки, покоящейся на упругом основании жесткостью k. Здесь EJ — постоянная жесткость балки на изгиб, а q — поперечная нагрузка на единицу ее длины.

1.  Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании [9].

2.  Пусть балка имеет единичную длину и защемлена в обоих концах так, что при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Бубнова-Галеркина. Используя метод Бубнова-Галеркина, найти отклонение балки, если .

3.  Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.

Вариант № 3.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

1.  Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

2.  Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике , если на границе этого прямоугольника функция принимает следующие значения

.

Построить точное решение задачи. Исследовать сходимость приближенного решения и сравнить его с точным решением

.