Практикум по высшей математике и биологической статистике (стр. 1 )

ГОУ ВПО

Оренбургская Государственная медицинская академия федерального агентства по социальному развитию и здравоохранению.

Кафедра медицинской и биологической физики.

Практикум по высшей математике и биологической статистике

Методическое пособие для студентов

Оренбург 2009 г

УДК 51

Под общей редакцией к. м.н. доц.

Практикум по высшей математике и

биологической статистике.

Оренбург 2009 г, 86 стр.

Рецензенты:

-доцент каф. радиофизики и электроники физического факультета ОГУ.

-профессор, зав. каф. общей гигиены ОрГМА.

Издание второе, дополненное примерами решения типовых задач.

Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к печати РИС ОрГМА.

Учебное пособие предназначено для студентов лечебного, педиатрического, медико-профилактического, стоматологического факультетов и высшего сестринского образования (очная и заочная формы обучения).

Цель учебного пособия - выработать практические навыки по применению методов высшей математики, теории вероятностей, математической статистики для решения конкретных медико-биологических задач и ситуаций.

Представленные в пособии задания состоят из:

-  формализованных упражнений, предназначенных для освоения техники дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений первого порядка;

-  задач медико - биологического профиля.

Задачи подобраны таким образом, чтобы показать некоторые возможности высшей математики, теории вероятностей и математической статистики в решении вопросов кинетики ферментативных реакций, биологии, генетики, нормальной физиологии, микробиологии, иммунологии, фармакодинамики, патогенетических механизмов ряда заболеваний, оценок популяционных параметров.

Пособие содержит примеры решения типовых задач, необходимый и достаточный набор математических формул и статистических таблиц.

Задания соответствуют требованиям Государственного (2000г) образовательного стандарта, официальной учебной программе для студентов 1 курса медицинских вузов.

Решение задач, представленных в пособии, создает необходимую базу для успешного усвоения студентами старших курсов медицинских вузов методов статистического анализа проблем гигиены, социальной медицины и здравоохранения.

Пособие предназначено для студентов медицинских вузов, а также для клинических ординаторов и аспирантов.

I.ПРИМЕРЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ.

1.  Найти производную функции:

1. y = x4/4+3x2-6 2.  y = 3x -4+2x -3+x -2 3.  y = tgX +5ctgX 4.  y = 5.  y = (3x2+2)(x-4) 6.  y = sinX·ex 7.  y = ln x(x3-5x2+8) 8.  y = 9.  y =

10.  y = 11.  y = 12.  y = sin4x 13.  y = ln(x2+5) 14.  y = cos2x 15.  y = e7-4x 16.  y = ln(tgX) 17.  y = 18.  y = (x2-8)6 19.  y = tg3x

2. Определить интервалы убывания и возрастания функции:

1.  y = x3+3x2+3x+1 2.  y = 3x-3x2 3.  y = x2+x-1 4.  y = x2-5x+6 5.  y = x-ex 6.  y = x·ln x

7.  y = x-ex 8.  y = x·ln x 9.  y = 2x2-x4/4 10.  y = x3/6-x2

3. Исследовать функцию на экстремум:

1.  y = x2+x+1 2.  y = 2x3-6x2-18x+7 3.  y = x3/3-2x2+3x-1 4.  y = 2x2-x4 5.  y = x4-8x2+8x

6.  y = 1+x2-x4/2 7.  y = 3x-x3 8.  y = х3-6х2+9х-4 9.  y = х/(х2+1)

4. Найти частные производные функции:

1.  f(x, y)= x2sin y 2.  f(x, y)= x2 + y3 3.  f(x, y)= 4.  f(x, y)= y·ln x 5.  f(x, y)= y - ex

6.  f(x, y)=1/(x+y) 7.  f(x, y)= e2x+y 8.  f(x, y)=x2 + xy + y2 9.  f(x, y)= e xy 10.  f(x, y)= x2 + y2

5. Вычислить неопределенные интегралы:

1.  dx 2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.

9.  10.  11.  12.  13.  14.  15.

6.  Вычислить определённые интегралы:

1.  2.  3.

4.  5.  6.

7.  Найдите общие решения дифференциальных уравнений:

1.  y’ =2x2 2.  y’= 2x2 +1 3.  y’ =5 y 4.  xyy’ =0.5 5.  3xdy=2ydx 6.  4x-3y 2y’ =0 7.  (x+1)dx-2xydy=0 8.  y’ (x+1)=1

9.  xdx=ydy 10.  y’ =y cosx 11.  y’ =2xy 12.  dy+3ydx=0 13.  ey y’=1 14.  ex y’=1 15.  y’=1/x+ex

8. Найдите частные решения дифференциальных уравнений:

1.  ydy - xdx = dx, если у = О при х = 2;

2.  y'=, если y = 1 + при х = е;

3.  2xy' = y, если y = 6 при х = 9;

4.  sin xdx =dy, если у= 1 при x=

5.  Зy2y' = y3 + 1, если y = 2 при х= 0;

6.  (x+1)dy = ydx, если y = 8 при х = 1.

  II.  ЗАДАЧИ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ.

  I.  Производная функции.

Задача:

Пусть популяция в момент t насчитывает p(t) =3000+100 особей:

Найти скорость роста популяции: a) В произвольный момент t.

б) В момент t=1c

Решение:

Для нахождения скорости роста популяции находят производную функции: p′(t)=200 t

Скорость роста популяции в произвольный момент v=200 t

Скорость роста популяции в момент t=1c равна p′(1)=200;

Ответ: v=200 t, v=200(оcоб/с).

Задачи для самостоятельного решения.

1.1  Размер популяции насекомых в момент t задается

величиной P(t)=10000+9000(1+t).

Вычислите начальную популяцию Р(0) и скорость

роста в момент t=1.

1.2 Зависимость между количеством (х) вещества, получаемого в некоторой химической реакции и временем (t) выражается уравнением . Определите скорость реакции в момент времени t.

1.3 Размер популяции бактерий в момент t (время выражено в часах) задается формулой Найдите скорость роста популяции когда: a) t=1час, б) t=5час.