ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (стр. 2 )

Здесь первообразные функций

3) Уравнение с разделяющимися переменными в дифференциалах:

Чтобы найти общее решение данного уравнения, нужно также привести его к уравнению с разделёнными переменными. Запишем уравнение в виде:

Проинтегрировав полученное равенство, найдём общий интеграл заданного уравнения:

где

ПРИМЕР 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Приведём его к уравнению с разделёнными переменными. Для этого перепишем уравнение в виде

Проинтегрировав полученное равенство, найдём общий интеграл уравнения

Разрешив последнее равенство относительно , получим общее решение дифференциального уравнения

Для того, чтобы найти значение произвольной постоянной , необходимо задать начальные условия. Пусть Подставим начальные условия в общее решение, получим:

Таким образом, частное решение имеет вид .

ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Приведём некоторые определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функция называется однородной функцией к-го порядка ( к-той степени ), если при умножении каждого аргумента на произвольное число функция умножается на , т. е. имеет место равенство

Например, функция является однородной функцией второго порядка. Покажем это.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функция называется однородной функцией нулевой степени, или просто однородной, если имеет место равенство

Можно показать, что однородная функция нулевой степени зависит только от отношения аргументов, т. е .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Дифференциальное уравнение называется однородным, если однородная функция.

Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой где новая неизвестная функция.

Пусть дано однородное дифференциальное уравнение

Введём новую функцию

Если подставить полученные величины в заданное уравнение, то оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и проинтегрируем затем полученное равенство:

Вычислив неопределённые интегралы, найдём общий интеграл заданного уравнения

ПРИМЕР 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Проверим, что данное уравнение однородное. Для этого покажем, что функция в правой части уравнения зависит только от отношения аргументов

Таким образом, уравнение примет вид

Сделаем в уравнении подстановку

и приведём его к уравнению с разделяющимися переменными:

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Вычислив неопределённые интегралы, найдём общий интеграл заданного дифференциального уравнения:

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все её производные входят в уравнение в первой степени.

Линейное уравнение первого порядка может иметь следующий вид:

1) Неприведённое уравнение:

2) Приведённое уравнение

Неприведённое уравнение можно свести к приведённому, если обе части уравнения разделить на функцию . Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только приведённое уравнние.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Если правая часть линейного уравнения равна нулю, то уравнение называется однородным. В противном случае оно называется неоднородным.

Изложим два основных метода решения линейного уравнения первого порядка.

1) МЕТОД ЛАГРАНЖА ( метод вариации произвольной постоянной ).

Рассмотрим уравнение

.

. Сначала найдём общее решение однородного уравнения . Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Используя изложенный ранее метод разделения переменных, получим

Отсюда найдём общий интеграл однородного уравнения

и соответственно общее решение однородного уравнения

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде , где неизвестная функция. Чтобы найти , подставим выражение для в неоднородное уравнение:

Сократив в левой части уравнения второй и третий члены, получим

Отсюда найдём и общее решение неоднородного уравнения:

Легко проверить, что если задано начальное условие то решение задачи Коши для линейного уравнения можно записать в виде

.

2) МЕТОД БЕРНУЛЛИ.

Этот метод продемонстрируем на примере.

ПРИМЕР 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Введём новые неизвестные функции

Тогда заданное уравнение примет вид

Выберем функцию таким образом, чтобы выполнялось условие

Очевидно, функция является решением однородного линейного уравнения, т. е. уравнения с разделяющимися переменными. Решим его.

Интегрируя, получим

Отметим, что при нахождении функции константа не вводится!

Подставим функцию в уравнение (2) и получим дифференциальное уравнение для функции , которое также является уравнением с разделяющимися переменными: