ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (стр. 6 )

Подберём таким образом, чтобы выполнялось условие

Тогда

Подставляя выражения для в неоднородное уравнение, получим

Так как решения однородного уравнения (4), то выражения в скобках равны нулю. Поэтому из последнего равенства найдём

Таким образом, функции должны удовлетворять следующей системе дифференциальных уравнений:

Определитель системы так как это определитель Вронского для линейно независимых решений линейного однородного уравнения. Поэтому система (6) имеет единственное решение

где некоторые функции от Интегрируя эти функции, найдём а затем по формуле (5) получим частное решение неоднородного уравнения.

ПРИМЕР 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения Запишем характеристическое уравнение и определим его корни:

Фундаментальная система решений и общее решение однородного уравнения соответственно имеют вид:

Частное решение заданного неоднородного уравнения будем искать в виде где неизвестные функции. Запишем для этих функций систему (6):

Решим её, используя метод Крамера:

Отсюда:

Так как мы находим частное решение неоднородного уравнения, то при интегрировании можно не добавлять константы.

Запишем искомое частное решение заданного уравнения

Следовательно, общее решение заданного неоднородного уравнения имеет вид:

Здесь произвольные постоянные.

НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТИ

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

И пусть правая часть уравнения имеет вид:

Здесь произвольные вещественные числа, заданные многочлены степени соответственно.

В этом случае частное решение неоднородного уравнения можно найти методом подбора или, что то же, методом неопределённых коэффициентов.

Введём в рассмотрение комплексную величин у , которую назовём характеристикой правой части. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

где коэффициентами степени ,

Здесь корни характеристического уравнения

Чтобы найти коэффициенты многочленов , нужно

подставить в заданное неоднородное уравнение.

Продемонстрируем этот метод на примере.

ПРИМЕР 4. Найти общее решение неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решим сначала однородное уравнение Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни:

Запишем фундаментальную систему решений и общее решение однородного уравнения:

Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения. Рассмотрим правую часть уравнения и запишем её характеристику:

Так как поэтому частное решение нужно искать в виде:

Чтобы найти коэффициенты , вычислим производные функции и подставим их в заданное уравнение:

Разделив обе части уравнения на и приведя подобные члены, получим равенство двух многочленов:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной запишем систему для определения коэффициентов

Тогда Соответственно, общее решение заданного уравнения имеет вид:

.

V. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную, несколько неизвестных функций и их производных.

В настоящем разделе мы ограничимся рассмотрением нормальной системы дифференциальных уравнений, содержащей независимую переменную и две неизвестных функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Нормальной системой дифференциальных уравнений от двух неизвестных функций называется система вида:

Здес заданные функции.

Таким образом, нормальная система дифференциальных уравнений состоит из уравнений 1-го порядка, разрешённых относительно производных, и число уравнений всегда равно числу неизвестных функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением системы (1) на некотором промежутке называется любой набор функций , который обращает в тождество каждое уравнение системы.

Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я для системы (1) имеют вид:

З а д а ч а К о ш и для системы (1) ставится следующим образом:

найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Допустимые условия существования и единственности решения задачи Коши определяются следующей теоремой, которую приведём здесь без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. (Коши) Если в системе (1) функции определены и непрерывны вместе со своими частными производными по в некоторой трёхмерной области G, содержащей точку , то в этой области существует и притом единственное решение системы , удовлетворяющее начальным условиям

Решение задачи Коши является частным решением системы.