ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (стр. 5 )

Таким образом, нахождение общего решения однородного уравнения сводится к нахождению лвух линейно независимых частных решений этого уравнения. Однако в общем случае это не упрощает задачу нахождения общего решения. Поэтому далее рассмотрим случай однородных уравнений, для которых всегда можно найти общее решение.

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение второго порядка

где Будем искать решение этого уравнения в виде

Для нахождения константы подставим функцию в уравнение.

Сократив последнее равенство на , получим алгебраическое уравнение второго порядка для определения :

Полученное квадратное уравнение называется характеристическим для однородного уравнения

Фундаментальная система решений и вид общего решения линейного однородного уравнения зависят от корней характеристического уравнения.

1) Характеристическое уравнение имеет вещественные различные корни В этом случае фундаментальную систему решений однородного линейного уравнения образуют линейно независимые функции

Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:

2) Корни характеристического уравнения вещественные и равные

В этом случае одним из решений фундаментальной системы будет функция В качестве второго решения возьмём функцию То, что эта функция действительно является решением линейного уравнения (1), легко убедиться, подставив её в уравнение. Кроме того, функции линейно независимы, так как они не пропорциональны. Таким образом, фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют функции , Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:

3) Корни характеристического уравнения комплексно сопряжённые:

Так как корни характеристического уравнения различны, можно сразу записать фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения:

Однако функции комплексные. Чтобы получить, фундаментальную систему из вещественных функций. используем свойства решений линейного однородного уравнения. В качестве новой фундаментальной системы возьмём функции

Тогда общее решение линейного однородного уравнения примет вид:

ЗАМЕЧАНИЕ. В частном случае, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые ( ), фундаментальную систему решений образуют функции

,

Общим решением однородного уравнения является функция

ПРИМЕР 1. Найти общее решение линейного однородного уравнения

Данное уравнение является однородным линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение и найдём его корни:

По найденным корням запишем фундаментальную систему уравнения:

Тогда общее решение будет иметь вид:

ПРИМЕР 2. Найти общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

Запишем характеристическое уравнение для данного однородного уравнения и найдём его корни:

Так как корни характеристического уравнения комплексно сопряжённые, фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют функции

Соответственно, общее решение заданного уравнения имеет вид:

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Будем рассматривать приведённое неоднородное уравнение:

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО

ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

СВОЙСТВО 1. Если решение однородного линейного уравнения , а решение неоднородного уравнения , то решение неоднородного уравнения

СВОЙСТВО 2. Если решения линейного неоднородного уравнения , то решение однородного уравнения .

СВОЙСТВО 3. Если решение линейного неоднородного уравнения линейного неоднородного уравнения , то решение линейного неоднородного уравнения

Сформулируем теперь следующую теорему.

ТЕОРЕМА 3 ( о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка). Пусть линейно независимые решения однородного уравнения , а любое частное решение неоднородного уравнения Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

Здесь

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2 и опирается на свойства решений неоднородного уравнения и свойства определителя Вронского.

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

Одновременно рассмотрим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Из теорем 2 и 3 следует, что общее решение неоднородного уравнения (3) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (4) и любого частного решения уравнения (3). И если общее решение однородного линейного уравнения может быть найдено, , то задача нахождения общего решения неоднородного уравнения сводится к нахождению частного решения этого уравнения. Способ нахождения частного решения неоднородного уравнения зависит от вида правой части уравнения. т. е. от функции

МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ

Пусть линейно независимые решения однородного уравнения ( фундаментальная система решений). Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

где неизвестные функции. Найдём производную функции :