ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (стр. 7 )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Общим решением системы (1) называется набор функций , зависящих от двух произвольных постоянных и удовлетворяющих следующим условиям:

1) для любых значений произвольных постоянных функции удовлетворяют системе (1);

2) для любых допустимых начальных условий (2) найдутся такие значения произвольных постоянных , при которых функции удовлетворяют как системе, так и начальным условиям.

РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ

Суть метода подстановки заключается в том, что решение системы двух дифференциальных уравнений первого порядка сводится к решению одного дифференциального уравнения второго порядка. Покажем, как применяется этот метод на конкретном примере.

ПРИМЕР 1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Продифференцируем первое уравнение по и в полученное уравнение подставим вместо их выражения из заданной системы:

Теперь вместо заданной рассмотрим эквивалентную систему

В полученной системе выразим из первого уравнения через и подставим во второе уравнение:

Теперь перейдём от системы (2) к эквивалентной системе

Первое уравнение в полученной системе является дифференциальным уравнением второго порядка относительно функции является комбинацией и её производной. Таким образом, нахождение решения системы двух уравнений первого порядка сведено к нахождению решения одного дифференциального уравнения второго порядка. Решим это уравнение.

Уравнение является однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, и его решение легко найти с помощью характеристического уравнения. Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни:

По корням характеристического запишем фундаментальную систему решений и общее решение однородного уравнения

Чтобы найти функцию найдём и подставим выражения для и во второе равенство системы (3):

Таким образом, общим решением заданной системы является набор функций:

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной, если неизвестные функции в правые части системы входят в первой степени.

В частности, линейная система двух дифференциальных уравнений имеет вид:

Здесь неизвестные функции, коэффициенты

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Если коэффициенты в линейной системе константы, то система называется линейной системой с постоянными коэффициентами.

Линейную систему дифференциальных уравнений можно записать в матричном виде. Введём следующие матрицы:

Тогда, используя правила умножения и сложения матриц, линейную систему (1) можно записать в виде:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Система линейных уравнений называется однородной, если функции тождественно равны нулю. В противном случае система называется неоднородной.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА Рассмотрим однородную линейную систему с постоянными коэффициентами

Будем искать решение системы в виде:

Для нахождения величин k подставим решение в систему, используя для краткости матричную запись

Сократим последнее матричное равенство на скалярный множитель Получим

Отсюда следует, что соответственно собственный вектор и собственное значение матрицы . Координаты собственного вектора являются решением линейной однородной системы алгебраических уравнений

а параметр kкорнем характеристического уравнения этой системы

Структура общего решения системы дифференциальных уравнений (3) зависит от корней характеристического уравнения. Рассмотрим ( на примере ) самый простой случай, когда характеристическое уравнение имеет различные вещественные корни.

ПРИМЕР 2. Найти общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Запишем характеристическое уравнение системы и найдём его корни:

Для каждого собственного значения матрицы А найдём собственный вектор.

Запишем и решим систему для определения собственного вектора:

Так как собственные векторы линейно независимы ( их координаты не пропорциональны), то мы получим два линейно независимых решения заданной однородной системы, которые образуют фундаментальную систему решений

Как и в случае линейного однородного уравнения, общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы:

Ответ можно записать также в развёрнутой форме:

Чтобы найти постоянные зададим начальные условия:

Тогда, подставив начальные условия в общее решение, получим систему уравнений для нахождения :

Решение задачи Коши для заданной системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. « Конспект лекций по высшей математике»

2. « Дифференциальное и интегральное исчисления», ч. 2.

3. , , « Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям».

: