ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (стр. 4 )

Уравнение (1) примет вид:

В результате подстановки получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными:

Используя заданные начальные условия для уравнения (1), получим начальные условия для уравнения (3):

Интегрируя обе части равенства (3), найдём функцию

Используя начальное условие определим произвольную постоянную и частное решение уравнения (3):

Найденную функцию подставим в равенство Получим:

Проинтегрировав последнее равенство найдём функцию

Чтобы определить произвольную постоянную используем начальные условия для исходного уравнения: Получим

Тогда решение задачи Коши для заданного уравнения 2-го порядка будет иметь вид:

VI. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Напомним, что дифференциальное уравнение называется линейным, если искомая функция и её производные входят в уравнение в первой степени

(см. пункт III). Таким образом, линейное дифференциальное уравнение второго порядка может быть задано в виде (1) или (2):

Здесь коэффициенты при искомой функции и её производных заданные функции от Уравнение (1) будем называть неприведённым, а уравнение (2) приведённым.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если правая часть уравнения тождественно равна нулю.

В дальнейшем будем рассматривать только приведённое уравнение. В частности, однородное приведённое уравнение имеет вид

Введём в рассмотрение дифференциальный оператор

Используя свойства производных, можно показать, что данный оператор линейный, т. е. справедливы равенства:

Докажем, например, второе равенство:

C помощью введённого оператора линейные дифференциальные уравнения можно записать кратко в операторной форме. В частности, однородное и неоднородное приведённые уравнения запишутся соответственно в виде:

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

СВОЙСТВО 1. Если функции решения линейного однородного уравнения, то их сумма также решение этого уравнения.

СВОЙСТВО 2. Если функция решение линейного однородного уравнения, то при любом значении произвольной постоянной C функция также решение этого уравнения.

СЛЕДСТВИЕ. Любая линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является решением этого уравнения.

Справедливость свойств решений линейного уравнения следует из свойств линейного оператора

СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ

ОДНОРОДНОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Введём сначала некоторые понятия и определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Две функции называются линейно независимыми на некотором интервале (a, b), если равенство

выполняется тогда и только тогда, когда

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то функции называются линейно зависимыми.

Пусть, например, Тогда из равенства найдём, что

Отсюда следует, что функции линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. когда

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО

Вычислим производную частного двух функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Определитель

называется определителем Вронского для функций

Сформулируем (без доказательства) свойства определителя Вронского.

СВОЙСТВО 1. Если функции линейно зависимы на некотором промежутке то определитель Вронского этих функций на данном промежутке тождественно равен нулю.

СВОЙСТВО 2. Если функции являются линейно независимыми решениями однородного линейного уравнения на некотором промежутке , то определитель Вронского этих функций не обращается в ноль ни в одной точке данного промежутка.

Используя свойства определителя Вронского, докажем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 2. ( о структуре общего решения линейного однородного уравнения второго порядка). Пусть функции линейно независимые решения линейного однородного уравнения на некотором промежутке . Тогда общее решение этого уравнения имеет вид:

где произвольные постоянные.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Чтобы доказать, что функция является общим решением однородного уравнения , нужно проверить, что данная функция удовлетворяет двум условиям в определении общего решения уравнения второго порядка (определение 2 п. IV)^

1) При любом наборе произвольных постоянных функция удовлетворяет уравнению. Это условие выполняется из-за линейности оператора

2) Для любых допустимых начальных условий найдутся такие значения произвольных постоянных, при которых функция удовлетворяет как уравнению. так и начальным условиям. Подставим функцию в начальные условия:

Мы получили алгебраическую систему линейных уравнений для определения постоянных , Определителем этой системы является определитель Вронского

Так как функции лиекйно независимые решения однородного уравнения, то определитель Вронского этих функций не обращается в ноль ни в одной точке промежутка, где определено решение. Следовательно, по теореме Крамера существует единственное решение полученной алгебраической системы такое, что функция удовлетворяет как уравнению, так и заданным начальным условиям. Значит, функция является общим решением линейного однородного уравнения (теорема доказана).

Линейно независимые решения образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения второго порядка.