ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (стр. 3 )

Отсюда следует, что

Следовательно, общее решение заданного уравнения (1) имеет вид:

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Уравнением Бернулли называется уравнение вида:

Проинтегрировать уравнение Бернулли можно двумя способами: свести его к линейному уравнению или использовать метод Бернулли. На практике чаще применяется метод Бернулли. Продемонстрируем этот метод на конкретном примере.

ПРИМЕР 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Очевидно, заданное уравнение является уравнением Бернулли.

Введём новые неизвестные функции

Тогда заданное уравнение примет вид

Выберем функцию таким образом, чтобы выполнялось условие

Функция является решением однородного линейного уравнения, т. е. уравнения с разделяющимися переменными. Решим его

Интегрируя, получим

Отметим, что при нахождении функции константа не вводится!

Подставим функцию в уравнение (2) и получим дифференциальное уравнение для функции , которое также является уравнением с разделяющимися переменными:

Решим полученное уравнение.

Интегрируя последнее равенство, найдём

Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид:

IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальные уравнения, порядок которых больше единицы, называются уравнениями высших порядков.

В настоящем разделе будут рассмотрены дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнение второго порядка в общем случае задаётся равенством

Если данное уравнение можно разрешить относительно второй производной, то оно принимает вид

Начальные условия для дифференциального уравнения 2-го порядка задаются следующим образом:

Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1) или (2), удовлетворяющего начальным условиям (3), называется задачей Коши.

Геометрическая интерпретация задачи Коши: найти интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через заданную точку с заданным направлением касательной.

ТЕОРЕМА 1 ( существования и единственности решения задачи Коши) .

Пусть функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки и в самой точке. Тогда существует и притом единственное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Условия, сформулированные в теореме, называются допустимыми начальными условиями для дифференциального уравнения 2-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных и удовлетворяющая условиям:

1) при любом наборе произвольных постоянных ( функция удовлетворяет дифференциальному уравнению;

2) для любых допустимых начальных условий найдутся такие значения постоянных , что функция удовлетворяют как дифференциальному уравнению, так и заданным начальным условиям.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Частным решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется любое решение этого уравнения, которое может быть получено из общего при фиксированном наборе произвольных постоянных.

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим разницу в геометрической интерпретации единственности решения для дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков. В случае выполнения в окрестности точки условий теоремы существования и единственности интегральные кривые уравнения первого порядка в этой точке пересекаться не могут. Интегральные кривые уравнения второго порядка могут пересекаться, но не могут касаться. Это объясняется тем, что в случае пересечения кривые имеют разные касательные, т. е. соответствуют различным начальным условиям. В случае касания интегральные кривые не только проходят через общую точку, но имеют общую касательную, т. е. соответствуют одинаковым начальным условиям.

V. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Для интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков часто используют метод понижения порядка. Суть метода заключается в том, что с помощью введения новой переменной данное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже. В частности, уравнение 2-го приводится к уравнению 1-го порядка. Рассмотрим три типа уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка.

I) УРАВНЕНИЕ НЕ СОДЕРЖИТ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ И ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ

Решение данного уравнения можно получить последовательным двойным интегрированием. Покажем это на примере.

ПРИМЕР 1. Пусть задано уравнение

Запишем цепочку равенств:

Последнее уравнение проинтегрируем ещё раз

Таким образом, мы получили общее решение заданного уравнения 2-го pпорядка.

2) УРАВНЕНИЕ НЕ СОДЕРЖИТ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ

Данное уравнение приводится к уравнению 1-го порядка подстановкой

ПРИМЕР 2. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка, не содержащего искомой функции

Сделаем подстановку

Тогда заданное уравнение примет вид:

Таким образом, уравнение 2-го порядка сведено к линейному уравнению 1-го порядка. Решим его методом Бернулли. Введём новые неизвестные функции положив . Тогда уравнение (2) примет вид

Найдём функцию из условия

Подставляя в равенство (3), получим уравнение для функции :

Отсюда следует, что

Интегрируя последнее равенство, найдём общее решение заданного уравнения 2-го порядка:

3) УРАВНЕНИЕ НЕ СОДЕРЖИТ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕНОЙ

В этом случае можно понизить порядок уравнения, если ввести новую неизвестную функцию и новую независимую переменную, сделав подстановку

В результате данной подстановки уравнение 2-го порядка приведётся к уравнению 1-го порядка .

Подробно этот метод рассмотрим на примере.

ПРИМЕР 3. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка

Заданное уравнение не содержит независимую переменную. Поэтому сделаем подстановку