Кривые линии (стр. 2 )

- кривая линия; , – точки начала и конца дуги соответственно; , – касательные в точках начала и конца дуги соответственно; - угол между касательными

Кривизной плоской кривой в какой-либо её точке считается предел, к которому стремится отношение угла между касательными, проведенными в точке и соседней с ней точке , к дуге , если точка стремится к :

Также выделяют термин радиус кривизны.

Радиус кривизны кривой в данной точке – это величина обратная кривизне кривой в этой точке.

Для окружности радиус кривизны в любой её точке равен радиусу этой окружности.

Центр кривизны кривой в какой-либо её точке – центр окружности, проходящей через эту точку и две соседние точки кривой, стремящиеся к этой точке.

Приближенное построение центра кривизны кривой линии в некоторой её точке показано на рис. 11.

Рис. 11. Построение центра кривизны кривой линии

Сначала на кривой вблизи точки отмечают точки , , , . В каждой из этих точек, а также в точке проводят касательные к кривой линии. Построение касательной приближенным графическим методом рассмотрено на рис. 9. На каждой из касательных откладывают произвольные, но равные расстояния . Через получившиеся точки проводят плавную кривую линию и строят к этой кривой линии касательную в точке . После чего к касательным, проведенным из точек и , строят нормали и соответственно. Точка пересечения нормалей является искомым центром кривизны кривой линии в точке . Зная центр кривизны, можно определить радиус кривизны, который равен , и кривизну кривой линии в точке , которая равна .

1.4.  Особые точки кривой линии

Направление движения точки, перемещающейся по плоской кривой, определяется положением касательной. Точки, в которых меняется направление касательной, называются особыми точками кривой линии. Кривая линия в особой точке может иметь одну или несколько касательных.

Особые точки, в которых кривая имеет одну касательную, могут быть следующих видов (см. рис. 12):

·  точка перегиба, в которой кривая пересекает касательную;

·  точка возврата первого рода (“острие”), в которой кривая изменяет свое направление и располагается по обе стороны касательной;

·  точка возврата второго рода (“клюв”), в которой кривая изменяет свое направление, но остается расположенной по одну сторону от касательной.

Рис. 12. Особые точки, в которых кривая имеет одну касательную:

а) точка перегиба; б) точка возврата первого рода; в) точка возврата второго рода

Особые точки, в которых кривая имеет две касательные, могут быть следующих видов (см. рис. 13):

·  точка излома (или угловая точка) – точка, в которой направление касательной меняется скачком;

·  узловая точка – точка самопересечения кривой линии, в которой касательные, проведенные к различным ветвям кривой линии, не совпадают;

·  точка самоприкосновения, в которой кривая линия встречает саму себя, и касательные, проведенные к различным ветвям кривой линии, совпадают.

Рис. 13. Особые точки, в которых кривая имеет две касательные:

а) точка излома; б) узловая точка

1.5.  Проекционные свойства кривых линий

Отметим следующие основные проекционные свойства кривых линий:

·  плоская кривая линия в общем случае проецируется в виде кривой;

·  секущая к плоской кривой проецируется в секущую к проекции кривой;

·  касательная к плоской кривой проецируется в касательную к проекции кривой;

·  число точек пересечения плоских кривых равно числу точек пересечения их проекций;

·  порядок плоской кривой при проецировании не изменяется (эллипс проецируется в эллипс или окружность, окружность проецируется в окружность или эллипс, парабола и гипербола – в самих себя);

·  если направление проецирования параллельно плоскости плоской кривой, то она проецируется в прямолинейную линию;

·  проекцией пространственной кривой линии является плоская кривая линия.

Проекционные свойства плоских кривых линий проиллюстрированы на рис. 14.

Рис. 14. Проекционные свойства плоских кривых линий:

– плоская кривая линия; – проекция плоской кривой линии на плоскость проекций ; – секущая; – проекция секущей; – касательная; – проекция касательной; – точка касания; – проекция точки касания; – плоскость, в которой лежит плоская кривая линия

Подробнее остановимся на построении и основных свойствах наиболее часто встречающихся в начертательной геометрии и машиностроительном черчении плоских и пространственных кривых.

1.6.  Комплексные чертежи плоских кривых

1.6.1. Эллипс

Эллипсом называется плоская замкнутая кривая линия, образуемая при пересечении прямого кругового цилиндра или прямого кругового конуса плоскостью, наклоненной к их оси и пересекающей все образующие этого цилиндра или конуса.

Способы образования эллипса приведены на рис. 15.

Рис. 15. Образование эллипса:

а) при пересечении цилиндра; б) при пересечении конуса.

Общий вид эллипса приведен на рис.16.

Рис.16 Общий вид эллипса

Отрезки прямой, лежащие на осях симметрии эллипса и , называются осями эллипса, а концы этих отрезков - вершинами эллипса. Различают большую ось эллипса и малую ось эллипса . Большая и малая ось эллипса взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке , которая называется центром эллипса.

Отношение отражает форму эллипса и называется коэффициентом сжатия. При фокусы эллипса совпадают, и он обращается в окружность, которую можно рассматривать как частный случай эллипса.

Точки называются фокусами эллипса и лежат на большой оси эллипса на расстоянии от концов малой оси , равном половине большой оси . Отрезок прямой между двумя точками эллипса , проходящий через его центр, называется диаметром эллипса. Отрезки, соединяющие фокусы с точками эллипса , называются радиус-векторами.