Кривые линии (стр. 3 )

Уравнение эллипса в декартовой системе координат имеет вид:

Для каждой из точек эллипса справедливо равенство:

Эллипс может быть построен одним из следующих способов:

·  построение эллипса по двум осям с использованием фокусов;

·  построение эллипса по двум осям с использованием вспомогательных окружностей;

·  построение эллипса по сопряженным диаметрам.

Построение эллипса по двум осям с использованием вспомогательных окружностей приведено на рис. 17.

Рис. 17. Построение эллипса

Для построения эллипса данным способом необходимо знать длину большой и малой осей эллипса, а также их расположение. Сначала на большой и малой осях эллипса отмечают вершины и в месте пересечения осей отмечают точку – центр эллипса. Затем проводят из центра эллипса две окружности. Диаметр первой окружности равен длине большой оси, а диаметр второй окружности равен длине малой оси. Из центра эллипса проводят ряд отрезков до пересечения с окружностью большего диаметра и отмечают точки пересечения этих отрезков с окружностью меньшего диаметра. Затем из точек проводят линии, параллельные большой оси эллипса, а из точек линии, параллельные малой оси эллипса. В местах пересечения этих линий отмечают точки . Соединив последовательно полученные точки и вершины эллипса плавной кривой, получают эллипс.

Свойства проекций эллипса:

·  эллипс, плоскость которого параллельна плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину;

·  эллипс, плоскость которого перпендикулярна плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в виде отрезка;

·  если эллипс расположен в плоскости общего положения, то на все три плоскости проекций он проецируется в виде эллипса;

·  если плоскость эллипса находится в плоскости общего положения, а большая ось эллипса принадлежит линии наибольшего наклона к плоскости проекций и составляет с этой плоскостью угол, равный , то эллипс проецируется в окружность.

1.6.2. Парабола

Парабола – это линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной одной из его образующих.

Образование параболы приведено на рис. 18.

Рис. 18. Образование параболы

Общий вид и элементы параболы приведены на рис. 19.

Рис. 19. Общий вид и элементы параболы.

Парабола состоит из одной ветви симметричной относительно оси. Точка называется вершиной параболы, точка – фокусом, прямая – директрисой. Вершина параболы равно удалена от директрисы и от фокуса. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром. Расстояние от произвольной точки параболы до её фокуса равно расстоянию от этой же точки до директрисы.

Уравнение параболы в декартовой системе координат имеет вид:

Парабола может быть построена одним из следующих способов:

·  построение параболы по заданным вершине, оси и точке, принадлежащей параболе;

·  построение параболы по заданным фокусу и директрисе;

·  построение параболы по заданным вершине, оси и хорде;

·  построение параболы, касательной к двум известным прямым.

Рассмотрим построение параболы по заданным вершине, оси и хорде. Построение приведено на рис. 20.

Рис. 20. Построение параболы

Сначала отмечают точку пересечения оси параболы и хорды . На рис. 20 эта точка обозначена . Отрезок оси делят на произвольное количество равных частей (чем больше частей, тем точнее будет построена парабола) . Из точек проводят отрезки параллельно до пересечения с хордой и отмечают точки пересечения . Из этих точек проводят линии параллельно оси параболы, также проводят линии, соединяющие точку с точками на оси . В местах пересечения этих линий отмечают точки . Соединяя эти точки, вершину параболы и точку гладкой кривой линией, получают половину параболы, аналогично строят вторую половину.

Важной задачей является определение фокуса и директрисы уже построенной (заданной) параболы. Построение фокуса и директрисы параболы приведено на рис. 21.

Рис.21 Построение фокуса и директрисы параболы.

Сначала на параболе выбирают некоторую точку . Из точки проводят перпендикуляр к оси параболы. Точку пересечения обозначают . Через вершину параболы проводят прямую перпендикулярную оси параболы. Строят точку , которая симметрична точке относительно прямой . Прямая является касательной к параболе в точке . В месте пересечения прямых и отмечают точку . Из точки проводят перпендикуляр к касательной . Точка пересечения перпендикуляра с осью параболы является фокусом. Для построения директрисы необходимо провести прямую из точки параллельную оси параболы. В месте пересечения этой прямой и прямой отмечают точку  . Прямая , проведенная через точку перпендикулярно оси параболы, называется директрисой.

1.6.3. Гипербола

Гипербола – это линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной двум его образующим.

Образование гиперболы приведено на рис. 22.

Рис. 22. Образование гиперболы

Общий вид и элементы гиперболы приведены на рис.23.

Рис. 23. Общий вид и элементы гиперболы

Гипербола состоит из двух ветвей и . Точки и называются фокусами гиперболы, а точки и её вершинами. Ось – действительная ось гиперболы, ось – мнимая ось гиперболы. Разность расстояний от любой точки гиперболы до двух её фокусов – есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами гиперболы.