Кривые линии (стр. 4 )

Уравнение гиперболы в декартовой системе координат имеет вид:

,

где – половина расстояния между вершинами гиперболы;

,

где – половина расстояния между фокусами гиперболы.

Прямые и , к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность, называются асимптотами гиперболы.

Гипербола может быть построена одним из следующих способов:

·  построение гиперболы по заданным вершине, фокусу и мнимой оси;

·  построение гиперболы по заданному направлению асимптот и точке, ей принадлежащей;

·  построение гиперболы по заданной вершине, оси и точке, принадлежащей гиперболе.

Построение гиперболы по заданной вершине , оси и точке , принадлежащей гиперболе, приведено на рис. 24.

Рис. 24. Построение гиперболы

Сначала из точки проводят перпендикуляр к оси гиперболы. На точках строят прямоугольник . Стороны прямоугольника и делят на равное количество частей точками . На оси гиперболы симметрично точке относительно отрезка откладывают точку . Из точки проводят отрезки , а из точки проводят отрезки . На пересечении соответствующих отрезков отмечают точки . Соединяя последовательно вершину гиперболы , полученные точки и точку гладкой кривой линии, получают половину одной ветви гиперболы. Вторая половина симметрична относительно оси и строится аналогично.

1.7.  Комплексные чертежи пространственных кривых

1.7.1. Винтовые линии

Винтовой линией называется пространственная кривая линия, являющаяся траекторией точки, которая равномерно вращается вокруг неподвижной прямой (оси винтовой линии) и одновременно перемещается поступательно вдоль этой оси.

Винтовые линии подразделяются на левые и правые, на однозаходные и многозаходные, с постоянным и переменным шагом.

Направление винтовой линии определяется в зависимости от направления движения точки по образующей поверхности. Если точка, поднимаясь от нижней части поверхности к верхней, движется против часовой стрелке (смотря сверху) – винтовая линия называется правой, в противном случае левой.

На однозаходные и многозаходные винтовые линии подразделяются в зависимости от количества точек, которые начинают свое движение одновременно по поверхности цилиндра или конуса с его торца. При движении одной точки винтовая линия называется однозаходной.

Различают следующие основные типы винтовых линий, приведенных на рис. 25:

·  Цилиндрическая винтовая линия. Образуется при движении точки по поверхности кругового цилиндра.

·  Коническая винтовая линия. Образуется при движении точки по поверхности кругового конуса.

·  Глобоидная винтовая линия. Образуется движением точки, которая перемещается по поверхности глобоида (тела, ограниченного при вращении дуги окружности).

Рис.25 Виды винтовых линий:

а) правая цилиндрическая винтовая линия; б) левая цилиндрическая винтовая линия; в) правая коническая винтовая линия; г) левая коническая винтовая линия.

Общий вид цилиндрической винтовой линии приведен на рис. 26.

Рис.26 Общий вид цилиндрической винтовой линии.

Шагом винтовой линии называется величина перемещения точки вдоль оси винтовой линии, соответствующая одному её полному обороту.

Витком винтовой линии называется длина дуги, соответствующая полному обороту точки вокруг оси винтовой линии.

Угол подъема винтовой линии – угол наклона касательной, проведенной в некоторой точке винтовой линии к плоскости, перпендикулярной оси.

Для того чтобы построить цилиндрическую винтовую линию необходимо знать её параметры: диаметр цилиндра и размер шага . Горизонтальная проекция точки, образующей цилиндрическую винтовую линию перемещается по окружности, а фронтальная по синусоиде.

Построение правой цилиндрической винтовой линии приведено на рис. 27.

Сначала строят горизонтальную и фронтальную проекцию прямого кругового цилиндра. Окружность основания цилиндра (на горизонтальной проекции) и шаг (отрезок длиной на фронтальной проекции) разбивают на одинаковое количество частей. На рис. 27 разбиение произведено на 12 частей. После разбиения на окружности отмечают точки . Если необходимо построить правую винтовую линию, то нумерацию точек необходимо вести против часовой стрелки, если левую винтовую линию, то по часовой стрелки.

На фронтальной проекции линии разделения отмечены цифрами . Из точек проводят линии связи до пересечения с прямыми и отмечают точки пересечения . Последовательно соединяя эти точки плавной кривой, получают цилиндрическую винтовую линию.

Построение развертки цилиндрической винтовой линии приведено на рис. 27 справа. По горизонтали откладывают отрезок длиной и разделяют его на тоже количество частей, что и окружность на горизонтальной проекции. Линии разбиения обозначены . В месте пересечения линий и отмечают точки . Соединяя эти точки, получают отрезок , который и является разверткой цилиндрической винтовой линии. По развертке винтовой линии можно определить угол её подъема – это угол наклона отрезка к горизонтальной линии.

Рис. 27. Построение цилиндрической винтовой линии и её развертки.

2.  Поверхности

2.1.  Общие сведения о поверхностях

Поверхность – общая часть двух смежных областей пространства. Общий вид поверхности приведен на рис. 28.

Рис. 28. Общий вид поверхностей:

а) многогранная поверхность; б) кривая поверхность

Поверхность может быть задана одним из следующих способов:

·  кинематически, то есть, как множество последовательных положений движущейся линии;

·  аналитически, то есть, описана математическим уравнением. Если это уравнение является алгебраическим уравнением степени , то поверхность называется алгебраической поверхностью n-го порядка. Если уравнение, описывающее поверхность, является трансцендентным, т. е. содержащим показательную, логарифмическую или тригонометрическую функции, то поверхность называется трансцендентной;

·  каркасным способом, который используется при задании сложных поверхностей.

Начертательная геометрия изучает кинематические способы образования и задания поверхностей. Поверхности, заданные таким способом, называются кинематическими. Линия, движущиеся в пространстве и образующая поверхность, называется образующей. Как правило, образующая движется по второй линии, которая называется направляющей. Одна и та же кривая поверхность может быть образована перемещением различных линий и согласно разным условиям. Например, прямой круговой цилиндр можно рассматривать как поверхность вращения, образуемую при вращении прямой вокруг параллельной ей оси и как поверхность переноса, образуемую в результате непрерывного поступательного движения окружности.