Кривые линии (стр. 1 )

1.  Кривые линии

1.1.  Общие сведения о кривых линиях

Кривая линия – это линия, не имеющая прямолинейных отрезков. Кривую линию можно рассматривать как траекторию движущейся в пространстве или на плоскости точки. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой поверхностей или поверхности и плоскости.

Все кривые линии можно разделить на плоские и пространственные. Кривая линия называется плоской, если все точки линии лежат в одной плоскости, в противном случае она называется пространственной.

Определение вида кривой линии графическим методом приведено на рис. 1.

Рис. 1. Определение вида кривой линии:

а) пространственная кривая линия; б) плоская кривая линия

Если одной из проекций кривой линии является прямая (рис. 1б), то можно заключить, что кривая линия лежит в проецирующей плоскости и, соответственно, является плоской. В случаях, когда обе проекции кривой кривые линии (рис. 1а), необходимо её пересечь двумя секущими линиями (AC и BD) и проанализировать взаимное положение этих секущих. Если секущие являются пересекающимися прямыми, то кривая линия является плоской, если скрещивающимися прямыми, то пространственной. На рис. 1а секущие линии являются скрещивающими, что можно определить методом конкурирующих точек (3, 4 и 1, 2), следовательно, кривая линия, изображенная на рис. 1а, является пространственной.

Различают закономерные (аналитические) и незакономерные графические) кривые линии. Кривая линия считается закономерной, если в своем образовании она подчиняется какому-либо геометрическому закону. Закономерные кривые линии делятся на алгебраические, определяемые алгебраическими уравнениями, и трансцендентные, определяемые трансцендентными уравнениями.

Важной характеристикой кривой линии является ее порядок. Порядок алгебраической кривой линии определяется степенью ее уравнения. Также порядок кривой линии можно определить геометрическими методами. Для плоской кривой порядок равняется максимальному числу точек пересечения её с прямой линией. Для пространственной кривой линии порядок равняется максимальному числу точек пересечения её с произвольной плоскостью.

Определение порядка некоторых плоских кривых линий проиллюстрировано на рис.2.

Рис. 2. Определение порядка кривой линии:

а) параболы; б) декартова листа; в) лемнискаты Бернулли

Классификация плоских и пространственных кривых линий на основании их порядка и геометрического закона, которым они заданы, приведена на рис. 3, 4.

Рис. 3. Классификация плоских кривых линий

Рис. 4. Классификация пространственных кривых линий

Особый класс кривых линий составляют линии, произведенные от других, то есть полученные от исходных линий путем некоторых построений. Основные типы плоских кривых линий приведены на рис. 5.

Рис. 5. Плоские кривые линии:

а) эллипс; б) циссоида Диоклеса; в) декартов лист; г) спираль Архимеда; д) синусоида; е) циклоида; ж) лемниската Бернулли; и) парабола; к) гипербола

Основные типы пространственных кривых линий приведены на рис.6.

Рис.6 Пространственные кривые линии:

а) цилиндрическая винтовая линия; б) коническая винтовая линия

1.2.  Определение длины кривой линии

Длина некоторых кривых линий может быть определены путем алгебраических вычислений (например, длина окружности или виток цилиндрической винтовой линии). Для определения длины произвольной кривой линии существует общий графический приближенный метод, основанный на замене кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и измерении длин звеньев этой ломанной линии. Применение этого метода продемонстрировано на рис. 7.

Рис. 7. Определение длины кривой линии

Кривая AB разбивается на малые участки точками 1, 2, 3…6. После чего эти точки последовательно соединяются между собой отрезками. Если получившиеся отрезки значительно расходятся с дугами кривой, то необходимо разбить кривую линию на большее количество участков. Чем меньше отрезки расходятся с кривой линией, тем меньше ошибка при определении ее длины. Затем горизонтальная проекция ломанной разворачивается в горизонтальную прямую . Из точек проводятся вертикальные линии связи, а из точек горизонтальные линии связи. На пересечение соответствующих линий связи отмечают точки , последовательно соединив которые, получается ломанная, длина которой приближенно равна длине кривой. Для удобства можно развернуть ломанную в горизонтальную прямую .

1.3.  Секущая, касательная и нормаль к кривым линиям. Особые точки

Секущая ­ это прямая, пересекающая кривую линию в двух и более точках.

Касательная к кривой линии – это прямая, имеющая с плоской или пространственной кривой линией одну общую точку и представляющая собой предельное положение секущей прямой. Общую точку принято называть точкой касания. Кривые линии имеют определенную касательную во всех точках, однако не у всякой непрерывной кривой во всех точках имеется одна касательная.

Нормаль ­ это прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания. Для плоской кривой линии к каждой её точке можно провести только одну нормаль. К каждой точке пространственной кривой линии может быть проведено бесчисленное множество нормалей. Поэтому для пространственной кривой линии вводят также понятие нормальной плоскости.

Приведенные выше определения проиллюстрированы на рис. 8.

Рис. 8. Секущая, касательная, нормаль:

d – кривая линия; m – секущая; t – касательная; n – нормаль

Для некоторых кривых известны точные способы построения касательной. Например, известно, что касательная к окружности перпендикулярна её радиусу, проведенному из точки касания. Кроме точных способов существуют также приближенные способы построения касательных к плоским кривым линиям произвольного вида.

Приближенное построение касательной и нормали к плоской кривой в её произвольной точке приведено на рис. 9.

Рис. 9. Приближенное построение касательной и нормали к плоской кривой

Сначала проводится вспомогательная прямая примерно перпендикулярно к предполагаемому направлению касательной. Затем из точки проводятся несколько секущих прямых (чем больше, тем меньше ошибка при построении касательной), пересекающих кривую и вспомогательную прямую . После чего отмечают точки пересечения секущих с кривой линией , а также точки пересечения секущих с вспомогательной прямой . Из точек пересечения секущих прямых и вспомогательной прямой проводят отрезки, длины которых равны , , …,. Получившиеся точки , , …, соединяют плавной кривой линией. В месте, где эта линия пересекает вспомогательную прямую, отмечают точку . Соединив точки и , получают прямую, касательную к кривой в точке . Чтобы построить нормаль необходимо из точки провести прямую, перпендикулярную к касательной .

Отклонение кривой линии в некоторой её точке от прямой, являющейся касательной к кривой в этой точке, характеризуется кривизной.

Средней кривизной дуги является отношение величины угла между касательными, проведенными в точках начала и конца дуги к длине дуги.

Определение проиллюстрировано на рис. 10.

Рис. 10. Средняя кривизна дуги: