Теоретические подходы к анализу рядов динамики (стр. 5 )

- полином третьего порядка

- степенная функция

- показательная функция

и другие.

Данный прием сводится к следующему:

а) на основе экономического анализа явления за рассматриваемый период времени выявляется его характер;

б) исходя из характера явления выбирается то или иное математическое уравнение;

в) определяются параметры уравнения;

г) рассчитываются теоретические (выровненные) уровни ряда динамики, которые наносятся на график эмпирических значений;

д) прогнозируются уровни динамического ряда на основе аппроксимирующей модели на предстоящий период.

Для нахождения параметров уравнений используют метод наименьших квадратов (в случае линейной, параболической, гиперболической зависимостей) или линеаризации переменных (степенная, показательная и др.). Смысл метода наименьших квадратов состоит в том, что вычисленная линия теоретических уровней должна проходить в максимальной близости к фактическим уровням ряда, то есть

где y – исходные (эмпирические) уровни динамического ряда;

- расчетные (теоретические) уровни ряда динамики.

Рассмотрим выравнивание ряда динамики по прямой (таблица 10):

где y – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики

a и b – параметры уравнения,

t – время

Параметры уравнения находятся на основе системы уравнений:

Расчет параметров заметно упрощается, если перенести начало отсчета времени в середину исходного ряда (что бы ). Причем, если число уровней ряда нечетное, нумерация t следующая: …-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3…. ; а если число уровней ряда четное, нумерация t будет следующая: …-5, -3, -1, +1, +3, +5….

При условии, что St=0 (графа 2 таблицы 10) исходные нормальные уравнения принимают вид:

,

отсюда .

Необходимые величины рассчитаны в графах 3 и 4 таблицы 10.

Параметризованное уравнение, рассчитанное по данным таблицы 1, пример 1, имеет вид .

В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака (графа 5 таблицы 10), которые и являются тенденцией данного явления. Их наносят на график с эмпирическими данными.

Таблица 10 - Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

Год	Объем экспорта, тыс. долл. США, (y)	Условные обозначения времени (t)	t2	y*t
А	1	2	3	4	5	6
2005	1200	-3	9	-3600	1301	0,08393
2006	1350	-2	4	-2700	1313	0,02751
2007	1400	-1	1	-1400	1325	0,05357
2008	1370	0	0	0	1337	0,02399
2009	1350	1	1	1350	1349	0,00053
2010	1380	2	4	2760	1361	0,01346
2011	1310	3	9	3930	1374	0,04852
Всего	9360	0	28	340	9360	0,25152

Рис. 5. Динамика эмпирических и теоретических уровней ряда динамики объема экспорта продукции предприятия

Рассмотрим выравнивание ряда динамики по полиному второго порядка (таблица 11):

где y – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики

a, b и с– параметры уравнения,

t – время

Параметры уравнения находятся на основе системы уравнений:

При условии, что St=0 (графа В таблицы 11) исходные нормальные уравнения принимают вид:

Необходимые величины рассчитаны в графах 3, 4, 5, 6 таблицы 11.

Параметризованное уравнение, рассчитанное по данным таблицы 1, пример 1, имеет вид

В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака (графа 7 таблицы 11), которые и являются тенденцией данного явления. Их так же наносят на график с эмпирическими данными.

Таблица 11 - Аналитическое выравнивание ряда динамики по полиному второго порядка

Год	Объем экспорта, тыс. долл. США, (y)	Условные обозначения времени (t)	t2	t4	y*t	y*t2
А	1	2	3	4	5	6	7	8
2005	1200	-3	9	81	-3600	10800	1230	0,0254
2006	1350	-2	4	16	-2700	5400	1313	0,0275
2007	1400	-1	1	1	-1400	1400	1367	0,0235
2008	1370	0	0	0	0	0	1393	0,0170
2009	1350	1	1	1	1350	1350	1391	0,0307
2010	1380	2	4	16	2760	5520	1361	0,0135
2011	1310	3	9	81	3930	11790	1303	0,0051
Всего	9360	0	28	196	340	36260	9360	0,1427

Рис. 6 Динамика эмпирических и теоретических уровней ряда динамики объема экспорта продукции предприятия

Рассмотрим выравнивание ряда динамики по степенной функции (таблица 12):

где y – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики

a, b – параметры уравнения,

t – время

В данном случае необходимо провести линеаризацию переменных, то есть привести степенную функцию к линейному виду путем логарифмирования обеих частей уравнения (для удобства используются логарифмы с постоянным основанием – натуральный или десятичный).

Воспользуемся натуральным логарифмом и получим линейную функцию, параметры которой определяются МНК, а в качестве расчетных данных используются не исходные уровни, а их натуральные логарифмы (графа 3 и 4 таблицы 12):

или

Согласно МНК, построим систему нормальных уравнений:

Подставим необходимые величины, рассчитанные в графах 5, 6 таблицы 12, и получим:

Проведя преобразования, получим линейное уравнение:

Для перехода обратно к степенной функции выполняется потенцирование, т. е.:

.

Таким образом, параметризованное уравнение, рассчитанное по данным таблицы 1, пример 1, имеет вид

В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака (графа 7 таблицы 12), которые и являются тенденцией данного явления. Их так же наносят на график с эмпирическими данными.