Теоретические подходы к анализу рядов динамики (стр. 6 )

Таблица 12 - Расчетная таблица для аналитического выравнивания ряда динамики по степенной функции

Год	Объем экспорта, тыс. долл. США, (y)	Условные обозначения времени (t)
А	1	2	3	4	5	6	7	8
2005	1200	1	7,0901	0,0000	0,0000	0,0000	1234	0,028536
2006	1350	2	7,2079	0,6931	0,4805	4,9961	1275	0,055733
2007	1400	3	7,2442	1,0986	1,2069	7,9586	1299	0,072089
2008	1370	4	7,2226	1,3863	1,9218	10,0126	1317	0,038972
2009	1350	5	7,2079	1,6094	2,5903	11,6006	1330	0,01454
2010	1380	6	7,2298	1,7918	3,2104	12,9541	1342	0,027738
2011	1310	7	7,1778	1,9459	3,7866	13,9673	1351	0,031599
Всего	9360	28	50,38	8,5252	13,1965	61,4894	9148	0,269206

Рис. 7 Динамика эмпирических и теоретических уровней ряда динамики объема экспорта продукции предприятия

Критерием выбора параметризованного (лучшего для прогнозирования) уравнения является наименьшая ошибка аппроксимации:

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 10%.

Рассчитаем ошибки аппроксимации для анализируемых функций (графа 6 таблицы 10; графа 8 таблицы 11; графа 8 таблицы 12):

- для линейной функции

- для полинома второго порядка

- для степенной функции.

Так как все функции имеют ошибку аппроксимации в пределах средней, для прогнозирования можно выбрать любую. В данном случае отдадим приоритет линейной, как наиболее простой.

1.5 Экстраполяция в рядах динамики

Экстраполяция – это продление закономерности развития, наблюдавшейся в прошлом, в прогнозируемое будущее.

Для выполнения точечного прогноза в параметризованную модель подставляют перспективные значения t и получают расчетное значение .

Поскольку рассматриваемые методы являются вероятностными, прогнозные значения должны рассчитываться с доверительным интервалом, определяемым по формуле:

D=tm

где D - предельная ошибка или доверительный интервал;

t – коэффициент доверия, соответствующий определенной вероятности, так для вероятности 0,954 t=2, для вероятности 0,997 t=3.

m - средняя ошибка или ошибка репрезентативности.

Ошибка репрезентативности определяется:

,

где - дисперсия y;

n - число уровней ряда.

Прогнозные значения должны быть даны в интервале:

от (-tm) до (+tm).

Воспользуемся полученным уравнением линейного тренда и выполним прогноз на 2012 год (t=4).

Точечный прогноз составит: тыс. долл. США. Интервальный прогноз выполним с вероятностью 95,4% (коэффициент доверия равен 2), дисперсия равна . Отсюда ошибка репрезентативности:

Прогнозные значения будут лежать в интервале:

.

Таким образом, с вероятностью 95,4% можно утверждать, что прогнозные значения объема экспорта продукции предприятия будут находиться в интервале от 1338,9 до 1432,5 тыс. долл. США.

1.5 Выявление сезонности в рядах динамики

Сезонные колебания - периодические колебания, имеющие определенный и постоянный период, равный годовому промежутку. Измерение сезонных колебаний производится с помо­щью индексов сезонности. Для выявления сезонных колебаний данные берут за несколько лет, распределенные по месяцам (кварталам). Следует отметить, что средний индекс сезонности всегда равен 100%, следовательно, сумма индексов сезонности по месячным данным равна 1200, а по квартальным данным – 400. В зависимости от существующих в ряду динамики тенденций используются различные правила построения индексов.

1. Ряд динамики не имеет общей тенденции развития либо она невелика. Индекс сезонности:

где — средний уровень ряда, полученный в результате осреднения уровней ряда за одноименные периоды времени;

— общий средний уровень ряда за все время наблюдения.

Пример. Для расчета индексов сезонности воспользуемся данными объема экспорта продукции предприятия за 2009 – 2011 годы (табл.1, пример 1), распределенные по месяцам.

Таблица 13 – Динамика объема экспорта продукции предприятия

Месяц	Объем экспорта продукции предприятия, тыс. долл. США	Индекс сезонности, %
2008 г.	2009 г.	2010 г.	В среднем за 3 года, тыс. долл. США
Январь	97	99	96	97,3	86,7
Февраль	93	94	97	94,7	84,4
Март	102	100	102	101,3	90,3
Апрель	105	111	108	108,0	96,2
Май	124	128	124	125,3	111,7
Июнь	128	131	126	128,3	114,4
Июль	135	144	129	136,0	121,2
Август	130	138	131	133,0	118,5
Сентябрь	127	125	110	120,7	107,5
Октябрь	114	109	95	106,0	94,5
Ноябрь	100	103	97	100,0	89,1
Декабрь	95	98	95	96,0	85,5
Итого	1350	1380	1310	1346,7	1200,0
Общий средний уровень ряда за все время наблюдения	112,22	100,0

Для наглядного представления сезонной волны индексы сезонности отражают в прямоугольной или полярной системе координат. Построим график в полярной системе координат.

Рисунок 8 – Динамика индексов сезонности объема экспорта продукции предприятия

2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания.

При использовании способа аналитического выравнивания алгоритм вычислений индексов сезонности следующий:

- по соответствующему полиному вычисляют для каждого месяца (квартала) теоретические уровни (графа Д таблицы 14);

- определяют отношения фактических месячных (квартальных) данных к соответствующим теоретическим уровням (графа Е таблицы 14):

- находят средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах.

Пример. Для расчета индексов сезонности воспользуемся данными о производстве молока в регионе, распределенные поквартально. Для определения теоретических уровней выявлен линейный тренд (методика определения тренда рассматривалась ранее)

Таблица 14 – Динамика производства молока в регионе

Год	Квартал	Порядковый номер периода, t	Фактические уровни , тыс. тонн	Теоретические уровни	Индекс сезонности по каждому кварталу года, %
А	Б	1	2	3	4
2009	I	1	151,3	163,7	92,4
II	2	162,4	161,3	100,7
III	3	178,5	159,0	112,3
IV	4	161,5	156,6	103,1
2010	I	5	141,3	154,2	91,6
II	6	154,8	151,9	101,9
III	7	164,3	149,5	109,9
IV	8	127,5	147,1	86,7
2011	I	9	134,5	144,8	92,9
II	10	142,2	142,3	99,9
III	11	158,6	140,0	113,3
IV	12	131,2	137,7	95,3
Итого	1808,1	1808,1	1200,0

Определим средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в таблице 15.

Таблица 15 – Расчет индексов сезонности

Квартал	Индексы сезонности, %	Средний индекс сезонности, %
2009 г.	2010 г.	2011 г.
I	92,4	91,6	92,9	92,3
II	100,7	101,9	99,9	100,8
III	112,3	109,9	113,3	111,8
IV	103,1	86,7	95,3	95,0
Итого	400,0

Для наглядного представления сезонной волны построим график в прямоугольной системе координат.

Рисунок 9– Динамика индексов сезонности производства молока в регионе