Расчет течений электролита на базе уравнений навье-стокса (стр. 3 )

Нейтральные растворы, свободные от добавления примесей, меньше подвергаются загрязнению тяжелыми металлами, чем кислотные или электролиты нейтрального типа, состоящие из нескольких компонентов.

Очистка электролитов необходима для удаления частиц, попавших в них случайно или образовавшихся в процессе обработки. К таким частицам относятся интерметаллические соединения, находящиеся в металле анода и переходящие в электролит при его растворении, а также гидроокиси металла. Эти частицы могут задерживаться в зазоре и даже перекрывать его. Если частицы электропроводные, то возможны замыкания между анодом и катодом, значит, необходимо защитить зазор от попадания в него твердых частиц.

На форму детали влияет величина этого зазора. Величина зазора между инструментом и деталью зависит от скоростей движения инструмента и растворения материала детали, т. е. от величины тока. Поэтому способ контроля рабочего зазора является одной из важных особенностей электрохимического процесса. Форма детали определяется формой используемого катода-инструмента и относительными движениями инструмента и детали во время обработки, когда ток пропускают через электролитическую ячейку между фасонным катодом и плоской деталью, распределение плотности тока на поверхности детали определяется формой катода. Плотность тока будет максимальной там, где будет наименьшее расстояние между инструментом и деталью, так, что и скорость съёма металла с детали в этом месте будет максимальной. Если в процессе обработки катод подается по направлению к детали, плотность тока по всей поверхности детали выравнивается и ее поверхность формируется по форме катода.

Таким образом, под действием электрического тока происходит растворение материала электрода-заготовки, который в итоге приобретает форму, соответствующую профилю ЭИ (электрода-инструмента). В результате реакции, на обрабатываемой поверхности заготовки образуются продукты обработки, в том числе нерастворимые гидроксилы. Их концентрация в районе протекания анодного растворения в начальный момент превышает концентрацию в электролите. Количество продуктов будет зависеть от скорости анодного растворения. Образовавшиеся продукты анодного растворения уносятся потоком электролита.

На основе изучения отдельных аспектов процесса и их математического представления составляется общее математическое описание процесса ЭХО.

Значительное число параметров процесса и коэффициентов, входящих в уравнения, в настоящее время можно определить только экспериментальным путем. К ним в первую очередь относятся анодный выход металла по току, катодный и анодный выходы газов по току, потери напряжения в приэлектродных слоях и окисных пленках. Нет точных справочных данных по температурным коэффициентам удельной электропроводности и плотности электролита. Опытным путем находятся коэффициенты, учитывающие влияние скорости потока, зашламленности, рН электролита на его удельную электропроводность и др.

Расчетами определяется электрохимические эквиваленты металлов, удельная теплоемкость, коэффициенты теплоотдачи, теплопроводности и вязкость электролита, коэффициенты, характеризующие влияние газо-, шламонаполнения электролита на его теплопроводность.

В общем виде полученное математическое описание процесса ЭХО аналитически решить невозможно. Поэтому для конкретных условий ЭХО оценивают степень влияния различных факторов процесса на выходные показатели, учитывают основные, принимают системы допущений и на основе общего математического описания составляют упрощенные частные математические модели ЭХО.

Математически корректнее решать задачи ЭХ формообразования поверхностей в двумерной постановке. Кроме того, ряд задач ЭХО, таких как формообразование в области точек излома профиля электрода, формообразование фасонной поверхности неподвижным инструментом и другие, можно решать только, учитывая изменение параметров процесса по двум координатам.

Из методов решения двумерных задач наибольшее применение получили аналитический и численный. Аналоговые моделирования на электропроводной бумаге и в электролитической ячейке весьма трудоемкие и не достаточно точные применяются в основном как вспомогательные методы для решения отдельных частных вопросов формообразования.

1.2.  Методы решения уравнений Навье-Стокса.

1.Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Для однородной несжимаемой жидкости система уравнений Навье-Стокса имеет вид

В декартовой системе координат система уравнений Навье-Стокса может быть записана в следующей безразмерной форме, не содержащей давления и в ряде случаев более удобной для численной реализации

(2.1)

(2.2).

Функция тока ψ и вихрь ω заданы соотношениями

2.Простейшая разностная схема для двумерных уравнений.

Будем в качестве исходной использовать систему двумерных уравнений Навье-Стокса для однородной жидкости в переменных вихрь, функция тока (2.1)-(2.2).

Рассматривается течение в замкнутой квадратной области при граничных условиях на твердой границе

Начальные условия в виде

Введем сетку с координатами

i=0..M-1, j=0..N-1; n=0..K.

Введем обозначение

Производные по пространственным переменным будем аппроксимировать центральными разностями. Производную по времени заменим разностным соотношением «вперед» в виде

Запишем, используя указанные аппроксимации, следующую явную схему для уравнения вихря (2.1)

Здесь

По этой схеме по известным в момент времени tn значениям полей функции тока и вихря внутри расчетной области Щ, включая ее границу, можно определить значение вихря в области Щ, исключая ее границу, в следующий момент времени . Связи, определяемые схемой, имеют локальный характер, т. к. для определения величины требуется знать значения вихря на слое n в пяти точках .

Граничные условия для вихря запишутся в виде

Для y= const ,

Прейдем теперь к решению уравнения (1.2). Введем фиктивное время σ :

.

После преобразований можно записать схему для решения этого уравнения на временном слое n+1 в виде

,

где б0 –итерационный параметр(б0=4у/h2), граничное условие ш=0,задаваемое на границе области.

Условие окончания внутреннего цикла по s

.

3.Сеточные аппроксимации уравнения для вихря. Двумерное уравнение вихря.

Используем метод переменных направлений, общую структуру которого поясним на уравнении вида

L1 и L2 – одномерные операторы, действующие по разным направлениям.

Решение осуществляется в два этапа, которым соответствуют временные индексы n+1/2, n+1, а именно

(2.3)

(2.4)

Здесь - разностные одномерные операторы. На первом этапе прогонками в одном из направлений находится решение на полуцелом временном слое; затем, используя это решение, осуще­ствляются прогонки по второму направлению для получе­ния искомого решения щп+1 на целом временном слое. Такая схема аппроксимирует двумерное нестационарное уравнение вихря с первым порядком точности. На уста­новившемся режиме решение не зависит от временного шага ф, поэтому эта схема может использоваться и для решения стационарных задач «на установление».

Запишем с учетом (2.3), (2.4) схему для решения двумерного нестационарного уравнения вихря:

(2.5)

(2.6).

Коэффициенты имеют вид

Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при решении уравнения вихря, является вопрос о вели­чине временного шага ф (который при расчете стационарных задач «на установление» является итерационным параметром). Преимуществом неявных схем (2.5), (2.6), в отличие от явных схем, рассмотренных выше, является отсутствие ограничения на величину ф из усло­вий устойчивости. Это преимущество остается в силе, если рассматривать уравнения (2.5), (2.6)как мо­дельные, вне связи с уравнением для функции тока и граничными условиями. При использовании же упомя­нутых схем в системе уравнений Навье - Стокса возни­кает ряд существенных ограничений на величину ф, за­висящих в общем случае от способа решения уравнения для функции тока, способа аппроксимации граничного условия для вихря и других факторов.