Расчет течений электролита на базе уравнений навье-стокса (стр. 5 )

Введем функцию тока с помощью соотношений

(4)

Заметим, что введенная функция тока автоматически удовлетворяет уравнению неразрывности (3).

В двумерном течении имеется лишь одна компонента вектора завихренности, которая обычно определяется как

.

Используя новые независимые переменные вместо системы уравнений (1-3), будем иметь следующую систему уравнений Навье-Стокса а переменных "-" ("вихрь - функция тока")

(5)

(6)

Прямой подстановкой соотношении (4) можно исключить явное наличие переменных U и V. Но при такой формулировке полученное решение может оказаться менее точным.

Система уравнений (5), (6) пригодна для описания как стационарных, так и нестационарных вязких ламинарных течений. Однако теперь от времени явно зависит лишь уравнение (5). Это нелинейное уравнение, называемое уравнением переноса вихря, является параболическим по времени и служит для вычисления значений вихря скорости . Уравнение Пуассона (6) для определения функции тока строго эллиптическое при известной функции и и прямо не зависит от времени.

Граничные условия для новых переменных будут иметь вид:

у=L, , , (верхняя граница)

х=0, , (левая граница)

х=1, ,, (правая граница)

у=0, , , (нижняя граница),

а начальные условия запишутся следующим образом:

t=0, , , .

Обратим внимание: граничные условия для вихря остались неопределенными (хотя твердая поверхность является источником завихренности и в дальнейшем за счет процессов конвекции и диффузии завихренность будет переноситься внутрь поля течения).

Метод решения. Расчетную область покроем равномерной сеткой (рис.2) с узлами , , . Здесь , , (то есть N+1, M+1 - количество узлов сетки соответственно вдоль направления х и направления у, h и l - шаги сетки вдоль этих же направлений, - шаг по времени).

рис 2. Равномерная сетка для решения задачи о каверне

Введем следующее обозначение (сеточная функция): .

Запишем разностную схему ВВЦП [1] (вперед по времени - центральная по пространству) для уравнения переноса вихря (5)

(7)

где

(8)

Это явная разностная схема первого порядка точности по времени и второго порядка точности по пространственным переменным. Для определения неизвестных значений на (n+1) временном слое используется шаблон, приведенный на рис. 3.

Элементарный анализ показывает [4], что схема (7) устойчива при условии, что шаг по времени , причем постоянная С лежит в пределах от 0.1 до 4.0 (при этом число Rе меняется от 500 до 0). Ограничения на величину , налагаемые этим условием, являются существенными и влияют на скорость сходимости процесса и устойчивость получаемого решения.

рис 3. Узлы, используемые при определении в типичной внутренней точке

Метод ВВЦП для уравнения переноса вихря требует, чтобы были заданы подходящие условия для вихря на границе области. Задание граничных условий для этой величины очень важно, так как они непосредственным образом влияют на устойчивость и точность решения. Поскольку граничные значения для не заданы, то обычно использует их приближенные значения, которые находятся, например, методом разложения в ряд Тейлора (при выводе учитывается условие прилипания: на твердой стенке).

Приближение первого порядка точности выведено Томом в 1928г. и имеет для нашей задачи следующий вид

(верхняя граница)

(левая граница)

(правая граница)

(нижняя граница) (9)

где индексы М и М-1 соответствуют точкам на подвижной границе и ближайшей к ней точке по нормали. Для остальных границ это соответственно точки 0 и 1, N и N-1.

На рис.4 показано, какие узлы сетки участвуют при. определении значений на границе.

рис 4. Значения , используемые при определении на границе

Стационарное уравнение Пуассона (6) для функции тока обычно решают для каждого фиксированного момента времени t методом установления по фиктивному времени S (т. е. задача решается итерациями до достижения стационарного состояния). Простейшая итерационная разностная схема Ричардсона для уравнения (6) может быть записана следующим образом [1]

(10)

где .

Итерации по схеме (10) повторяются до тех пор, пока решение не сойдется к стационарному, то есть будет выполнен следующий критерий , где - наперед заданное малое число.

Уравнения (7), (10) совместно с граничными условиями для вихря С9) и нулевыми граничными значениями для функции тока образуют замкнутую систему нелинейных алгебраических уравнений, содержащую произведения неизвестных сеточных функций и . Нелинейность делает невозможным прямое решение этой системы и заставляет последовательно решать систему (7) и систему (10).

Обычно эти уравнения решают методом установления по времени, состоящим из следующих основных шагов:

1. В момент времени t=0 задаются начальные значения и .

2. Используя значения на границе с предыдущим временным слоем, решают уравнение переноса вихря для в каждой внутренней точке расчетной сетки в момент времени (на n+1 временном слое). В частности, из (7) можно получить, что

3. Решая итерационным методам уравнение Пуассона, находят новые значения во всех точках сетки по новым значениям во внутренних точках (в частности, можно использовать уравнение (10)).

4. Находят компоненты скорости по соотношениям (4), разностное представление которых имеет вид (8).