Расчет течений электролита на базе уравнений навье-стокса (стр. 6 )

5. Определяют значение на границах по значениям и во внутренних точках.

6. Проверяют сходимость решения, то есть выполнение критерия

,

где - наперед заданное малое число.

Если решение не сходится, то возвращаются к шагу 2.

2.2. Применение явных и неявных схем для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости

Явная схема, применяемая ранее для решения уравнения переноса вихря, легко реализуется на ЭВМ, но имеет существенное ограничение на шаг по времени . Неявные схемы более сложны для программирования и отладки, но в теории являются абсолютно устойчивыми (то есть допускают решение задачи с произвольно большим шагом по времени ; остаются лишь физические соображения, которые тоже могут ограничивать ). Следует заметить, что приближенное определение граничных условий для на твердых стенках существенно ухудшает устойчивость решения не только для явных, но и для неявных схем, поэтому при решении задачи с помощью неявных схем все равно нельзя выбирать большие .

Методику применения неявных схем для задач гидродинамики рассмотрим на примере схемы переменных направлений [1-4]. Основная идея этого метода - расцепление шага по времени на два полушага с целью построения такой неявной схемы, в которой требуется решать трехдиагональную систему линейных алгебраических уравнений для каждой сеточной линии (для решения такой системы, в которой неизвестные сгруппированы в окрестности главной диагонали, имеется простой и эффективный алгоритм решения - прогонка).

Итак, схема переменных направлений для решения уравнения переноса вихря (5) записывается в виде двух полушагов по времени. На первом полушаге используется следующий вариант дискретизации:

(14)

а на втором -

В течение первого полушага значения известны на целом временном слое n, но неизвестны на полуцелом слое (n+1/2). Однако неизвестные значения формируются около узлов одной и той же строки j (продвижение вдоль направления х на рис.10).

	Прогонка в направлении х (постоянное j), выполняемая на первом полушаге по времени
Прогонка в направлении у (постоянное i), выполняемая на втором полушаге по времени

Рис. 10. Реализация схемы переменных направлений

Следовательно, уравнения (14) могут быть переписаны в каноническом трех-диагональном виде

, (16)

где

Для решения данной системы уравнений удобно применять метод прогонки (метод последовательного исключения неизвестных)

Таким образом, на первом полушаге, решая трехдиагональную систему уравнении для каждого значения , получим промежуточное решение .

В течение второго полушага значения известны на полуцелом временной слое (n+l/2), но неизвестны на целом слое n+1. Однако неизвестные значения формируются около узлов одного и того же столбца i (продвижение вдоль направления у на рис.11) и мы снова имеем трехдиагональную систему уравнений (но для столбцов i), аналогичную (16).

Таким образом, на втором полушаге, решая трехдиагональную систему уравнений для каждого значения , получим решение .

В уравнении (14) компоненты скорости должны вычисляться как и , а в уравнении (15) – как и . Поскольку U и V определяется через функцию тока, которая в свою очередь находится из уравнения Пуассона (6), то, следовательно, требуется совместно решать уравнения для и на слоях (n+1/2) и n+1 (это может быть нереальным). Для выхода из этой ситуации используют, например, метод запаздывающих коэффициентов, когда компоненты скорости U и V в уравнениях (14) и (15) вычисляются на n-ом слое (но это снижает точность разностной схемы).

Метод прогонки [1-4] для уравнения (16) состоит в следующем:

а) задавая начальные значения векторов и , по рекуррентным формулам, находим

(прогонка вперед).

б) зная граничное значение , по рекуррентным формулам находим решение уравнения (в направлении убывания i от i=N-1 до i=1)

(прогонка назад).

Вследствие разрыва скорости в угловых точках каверны (х=0, у=1) и (х=1, у=1), решение уравнений Навье-Стокса сингулярно в этих точках (вихрь обращается в бесконечность) Фактически получить достоверные оценки влияния этих особенностей на точность решения весьма трудно, тем более, что обычно в конечно-разностных аппроксимациях значения вихря в этих точках не учитываются. Для большей достоверности моделирования процесса можно попробовать заменить граничное условие на верхней крышке выемки: вместо постоянной скорости применить такую функцию, которая бы устраняла разрывы в угловых точках к одновременно была бы близка к единице во всех остальных точках верхней крышки.

ГЛАВА 3

3.1. Решение тестовой задачи

Для решения приведенной задачи была написана программа на языке программирования Visual Studio С++. Полученные с ее помощью результаты, показаны на приведенных ниже рисунках. Код программы приведен в Приложении 1.

3.2. Графики

Ниже приведены графики, построенные для различных чисел Рейнольдса и шага по времени .

На них изображены линии тока .

На рисунке 1 построены линии тока для числа Рейнольдса Re = 10.

На рисунке 2 построены линии тока для числа Рейнольдса Re = 50.

На рисунке 3 построены линии тока для числа Рейнольдса Re = 100.

На рисунке 4 построены линии тока для числа Рейнольдса Re = 500.

На рисунке 5 построены линии тока для числа Рейнольдса Re = 1000.

Из приведенных графиков видно, что жидкость находится во вращательном движении внутри полости. Причем максимальное значение скорости расположены вблизи движущейся границы. И не наблюдается симметрии относительно ни горизонтальной, ни вертикальной оси.

При малых числах Рейнольдса движение более равномерно распределено по площади сечения. При увеличении числа Рейнольдса, центр общего вихря смещается в правый верхний угол, а нижняя часть жидкости оказывает почти не захваченной движением.

Расчеты для граничных условий соответствующих течений в канале проверены не были из-за нехватки времени.

Рис. 1. Линии тока , при числе Рейнольдса Re = 10, шаге по времени .

Рис. 2. Линии тока , при числе Рейнольдса Re = 50, шаге по времени .

Рис. 3. Линии тока , при числе Рейнольдса Re = 100, шаге по времени .

Рис. 4. Линии тока , при числе Рейнольдса Re = 500, шаге по времени .