Расчет течений электролита на базе уравнений навье-стокса (стр. 4 )

4. Решение уравнения для функции тока

Уравнение Пуассона для функции тока

(2.7)

в основной схеме решается отдельно от уравнения вихря. Усовершенствование этого элемента основной схемы игра­ет важную роль в связи с необходимостью многократно, на каждом временном слое решать стационарное эллип­тическое уравнение. Выше рассматривался прос­тейший явный итерационный метод решения. Здесь рас­сматриваются более совершенный метод, нашедший широкое практическое применение и использующий ите­рационное решение разностных уравнений неявным мето­дом переменных направлений.

5. Итерационный метод переменных направлений

Заменяя уравнение (2.7) нестационарным уравнением

, (2.8)

где у - итерационный параметр, аналогичный времени, запишем схему переменных направлений для уравнения (2.8) по аналогии со схемой (2.5), (2.6) в виде

Здесь s — итерационный индекс; , — итерационные параметры, в общем случае различные по различным направлениям и изменяющиеся от итерации к итерации.

В качестве критерия точности используется относительная величина невязки решения уравнения

- некоторое характерное (например, среднее) зна­чение вихря. При этом критерием точности будет условие

Очевидным недостатком такого критерия по сравнению с рассмотренными выше является большая трудоемкость.

6. Подход с использованием примитивных переменных.

Подход с использованием завихренности и функции тока теряет свою привлекательность, когда его применяют к трехмерным течениям, так как в этом случае не существует одной функции тока. Поэтому в трехмерных задачах уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости решают также путем использования примитивных переменных u, v, w,p. В декартовой системе координат безразмерные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в примитивных переменных имеют следующий вид:

Уравнение неразрывности

Уравнения движения по координате x

Уравнение движения по координате y

Уравнение движения по координате z

где

Для решения уравнений был предложен метод искусственной сжимаемости. В этом методе в уравнение неразрывности включен член с искусственной сжимаемостью, который обращается в нуль, когда решение устанавливается во времени. При этом уравнения Навье-Стокса образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений, которая решается обычным методом установления.

Уравнение неразрывности заменяется следующим уравнением

(2.13)

где -искусственная плотность и -фиктивное время, аналог реального времени в течениях сжимаемой жидкости, причем /в, (2.14)

где в-коэффициент искусственной сжимаемости. После замены t* на в уравнениях (2.10)- (2.12) и подстановки (2.14) в (2.13) мы можем дискретизировать полученные уравнения и решать их относительно до тех пор, пока не наступит установление, что дает решение для несжимаемой жидкости. Очевидно, этот метод годится только для стационарных течений, так как не является точным по времени.

ГЛАВА 2

2.1. Постановка задачи о течении электролита в МЭЗ

Электролит является водным раствором солей. Ввиду того, что ширина межэлектрдного канала очень мала, то вязкость играет существенную роль. Соотношение характерной скорости его течения и размеров межэлектродных зазоров такого, что числа Рейнольдса для течения электролита могут быть как в ламинарной, так и в турбулентной области. При моделировании мы ограничимся рассмотрением ламинарной области. Ограничимся так же рассмотрением течения в двумерном сечении канала.

Если пренебречь газовым наполнением, то в этом случае можно моделировать течение электролита течением вязкой несжимаемой жидкости, и использовать для этого уравнение Навье-Стокса. Для простоты сначала будем рассматривать канал полигональной формы.

В этом случае можно использовать имеющуюся многочисленную литературу по изучению методов решения уравнений Навье-Стокса. В частности, классическим примером с замкнутыми границами является плоская задача о течении жидкости в прямоугольной выемке. Эта задача является прекрасным тестом при сравнении различных методов решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости и, по существу, иллюстрирует историю развития вычислительной гидродинамики. Кроме того, эта задача является более простой, поскольку для нее отсутствует условие на бесконечности (которое достаточно сложно моделировать на ЭВМ) и границы области заранее известны.

Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой квадратной полости (размером Н по горизонтали и L по вертикали), вызываемое движением ее верхней (твердой и, следовательно, непроницаемой) границы с заданной постоянной скоростью .Остальные границы области (твердые стенки) непроницаемы и неподвижны. Жидкость, целиком заполняющая каверну, вовлекается в движение силами вязкости. Такая постановка, будучи геометрически крайне простой, позволяет отразить многие характерные черты задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса: конвективную нелинейность, различные соотношения между силами инерции и силами вязкости, одновременное существование областей малых и больших градиентов и т. п.

Выберем начало прямоугольной декартовой системы координат так, как указано на рис.1.

Будем использовать безразмерные переменные. Выберем, в качестве линейного масштаба длину каверны L, а в качестве характерной скорости - скорость движения верхней крышки . Тогда единственным критерием подобия будет являться число Рейнольдса , а геометрическим параметром задачи - безразмерная высота каверны (безразмерная ширина каверны теперь, будет равна единице). Для простоты штрих у безразмерных переменных в дальнейшем будем опускать.

рис 1. Каверна с движущейся крышкой

Плоское течение вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил и постоянных физических свойствах среды можно описать системой уравнений Навье-Стокса [1-4]

(1)

(2)

, (3)

где U, V - компоненты вектора скорости , Р - давление, Re - число Рейнольдса, которое характеризует отношение сил инерции к силам вязкости, t - время, х, у - декартовы координаты.

Эти уравнения образуют смешанную эллиптически-параболическую систему относительно так называемых "примитивных" переменных U, V,P

Граничные условия имеют вид:

y=L, U=l, V=0, (верхняя граница, движется в своей плоскости с заданной скоростью)

х=0, U=0, V=0, (левая граница) х=1, U=0, V=0, (правая граница) у=0, U=0, V=0, (нижняя граница)

Условия непроницаемости и прилипания

(значение давления в произвольной точке области)

В качестве начального условия можно использовать, например, следующее предположение: при t=0 жидкость во всем поле неподвижна (U=О, V=0), а верхняя крышка внезапно приводится в движение (U=1). Такое предположение обычно используют, когда иной информации о течении нет. При решении последовательности стационарных задач (при различных числах Re) практически более эффективно в качестве начального приближения использовать то поле скоростей, которое было получено ранее при другом (меньшем) числе Re.

Указанных начальных и граничных условий достаточно для решения системы уравнений (1)-(3).

Одним из самых распространенных методов решения двумерных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости является подход с использованием завихренности и функции тока в качестве независимых переменных [1-4], что позволяет исключить давление в уравнениях. При таком подходе делают замену переменных, переходя от компонент скорости U, V и давления Р к функции тока и вихрю скорости .