Тема 15. Волновая оптика (стр. 4 )

– вторичные волны, испускаемые каждой точкой волнового фронта, когерентны;

– амплитуда волны в любой точке среды представляет собой результат интерференции всех вторичных волн, сходящихся в этой точке;

– амплитуда световых колебаний в определенной точке среды, возбуждаемых вторичными источниками, находящимися на поверхности волнового фронта, определяется следующим равенством:

.

Здесь и –волновой вектор и радиус - вектор, проведенный от элементарной поверхности в точку наблюдения, – величина, пропорциональная амплитуде световых колебаний вторичных источников на поверхности , – функция угла между векторами и (рис. 15.7):

Амплитуда результирующих световых колебаний в точке , которые обусловлены вторичными источниками всего волнового фронта, определяется интегралом по поверхности фронта :

. (15.5)

Рис. 15.7

Это равенство представляет собой математическое выражение принципа Гюйгенса-Френеля. Он был сформулирован в конце семнадцатого века и оказался очень полезным в решении целого ряда оптических задач. Прямое экспериментальное подтверждение его справедливости было получено только в конце двадцатого века в экспериментах по оптической голографии.

Таким образом, дифракционные явления обусловлены перераспределением светового потока в результате интерференции вторичных волн. Иначе говоря, дифракция света – это результат интерференции когерентных световых волн, испускаемых вторичными источниками волнового фронта.

Вычисление амплитуды световой волны в определенной точке среды с использованием равенства (15.5) представляет собой, вообще говоря, довольно сложную задачу. В ряде случаев, когда волновой фронт симметричен относительно точки наблюдения, вычисление амплитуды проводится методом зон Френеля. В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о распространении света точечного источника в оптически однородной среде.

Как известно, точечный источник излучает сферическую световую волну. Поскольку каждая точка волнового фронта является источником сферических вторичных волн, казалось бы, что наблюдатель должен видеть не светящуюся точку (как на опыте), но светящийся шар, диаметр которого стремительно увеличивается.

Пусть – точечный источник света, – точка наблюдения, сферический волновой фронт симметричен относительно прямой (рис. 15.8). Разобъем его на кольцевые участки (зоны Френеля) так, что

Рис. 15.8

расстояния от соответствующих краев соседних зон до точки отличаются на . Понятно, что такой же будет разность расстояний от любой пары соответствующих точек этих зон. Поэтому фазы световых колебаний, создаваемых в точке наблюдения вторичными источниками соседних зон, будут отличаться на . Можно показать, что площади соседних зон примерно одинаковы; расстояние от зон до точки и угол между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку наблюдения возрастает с увеличением номера зоны, считая от точки . Это приводит к тому, что амплитуда световых колебаний, вызываемых в точке вторичными источниками различных зон, медленно убывает по мере увеличения номера зоны. Исходя из сказанного выше, величину амплитуды в точке можно представить следующим образом:

.

Поскольку амплитуды отличаются на малую величину, можно считать, что выражения в скобках равны нулю; поэтому .

Таким образом, амплитуда световых колебаний в точке , создаваемых всем волновым фронтом, равна половине амплитуды, обусловленной вторичными источниками первой зоны. Иначе говоря, результирующее действие в точке наблюдения полностью открытого волнового фронта эквивалентно действию половины центральной зоны, радиус которой очень мал. Действительно, если считать, что см, мкм (зеленый свет), то радиус первой зоны составляет всего 0,01 см. Именно поэтому точечный источник света воспринимается наблюдателем как светящаяся точка.

15.5. Дифракция Френеля

Дифракционные явления, наблюдаемые в природных и лабораторных условиях, делятся на две группы. Если источник света и точка наблюдения расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи идущие к наблюдателю, можно считать параллельными, наблюдаемые явления принято называть дифракцией Фраунгофера. В противном случае, когда упомянутые световые лучи нельзя считать параллельными, имеет место дифракция Френеля.

Поместим на пути монохроматической сферической световой волны непрозрачный экран с круглым отверстием и расположим его так, чтобы перпендикуляр, проведенный из точечного источника , попал в середину отверстия (рис. 15.9). Если диаметр этого отверстия значительно меньше, чем

Рис. 15.9

длина отрезков и , на другом экране будет наблюдаться дифракционная картина.

Разберемся вначале, что же мы увидим в точке , расположенной напротив центра отверстия. Для этого необходимо открытую часть волнового фронта разбить на кольцевые зоны Френеля. При этом, как уже отмечалось, амплитуда результирующих световых колебаний в точке будет определяться суммой . Можно показать, что если – нечетное, либо если – четное число (здесь – номер последней открытой зоны Френеля, считая от точки ). Поскольку для малых значений числа выполняется условие , при нечетных амплитуда световых колебаний в точке наблюдения будет равна , при четных она будет равна нулю.

Таким образом, при нечетном числе зон Френеля на открытой части волнового фронта в точке экрана будет наблюдаться максимум освещенности, при четном числе – минимум освещенности. Из соображений симметрии и закона сохранения энергии следует, что дифракционная картина

в целом будет состоять из чередующихся светлых и темных колец с центром в точке . Освещенность в максимуме и минимуме будет отличаться тем сильнее, чем ближе значения и . При неизменном положении источника света относительно отверстия количество зон Френеля зависит от диаметра отверстия и расстояния до экрана. Если диметр достаточно велик, то , и никакой дифракционной картины мы не увидим.

Теперь поместим между точечным источником света и экраном тонкий непрозрачный диск радиусом (рис. 15.10); при этом будем считать, что