Методические указания к контрольной работе №6 по теме «Производная и ее применение» по дисциплине «Математика» для слушателей подготовительного отделения ДГТУ (стр. 2 )

Решение. а) , значит производная равна 3 в любой точке х, в частности в заданной точке x = 4.

б) , значит, .

1.2.2. Правила дифференцирования.

Правило 1. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производную в точке х, то и их сумма имеет производную в точке х, причем производная суммы равна сумме производных:

.

Правило 2. Если функция y = f(x) имеет производную в точке х, то и функция y = k·f(x) имеет производную в точке х, причем

.

Правило 3. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производную в точке х, то и их произведение имеет производную в точке х, причем:

.

Правило 4. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производную в точке х и в этой точке , то и их частное имеет производную в точке х, причем:

.

Пример. 1. .

2. .

3.

.

4. =

.

1.2.3. Дифференцирование функции y = f (kx+m).

На практике нередко приходится находить производные функций и т. д., то есть производные функций y = f (kx+m). При этом можно использовать следующую теорему.

Теорема. Производная функции y = f (kx+m) вычисляется по формуле

.

Пример. Найти значение производной функции y = cos3x в точке .

Решение. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Известно, что . По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства: 1) в качестве аргумента у sin пишем не х, а 3х; коэффициент при х равен 3. Таким образом,

.

Чтобы вычислить , в полученное выражение подставим :

.

1.3. Уравнение касательной к графику функции.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x = a

(1)

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x).

1.  Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

2.  Вычислить f(a).

3.  Найти f’(x) и вычислить f’(a).

4.  Подставить найденные числа а, f(a), f’(a) в формулу (1).

Пример. Составить уравнение касательной к графику функции в точке x = 1.

Решение. 1. а = 1.

2. .

3. .

4. Подставим найденные числа в формулу (1). Получим .

Рис. 1

На рисунке изображена гипербола , построена прямая . Из чертежа видно, что прямая касается гиперболы в точке (1; 1). Ответ: .

Часть II. Применение производной для исследования функций

2.1. Исследование функций на монотонность

Между характером монотонности функции и знаком ее производной есть определенная связь.

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство (причем равенство f’(x) = 0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство (причем равенство f’(x) = 0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

Рассмотрим на примере алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

1) Найдем область определения функции
2) Найдем производную и разложим ее на множители (если возможно)
3) Исследуем знак производной методом интервалов
4) Выбираем промежутки, в которых
;	;
5) Записываем промежутки возрастания (убывания) с учетом непрерывности на концах промежутка
Возрастает на [–1; 1]; убывает на и	Возрастает на и ; убывает на и

Пример. Исследовать на монотонность функцию и построить ее график.

Решение. Найдем производные данной функции:

.

На рисунке 2 схематически указаны знаки производной по промежуткам области определения: на луче производная положительна, на интервале (–1; 0) – отрицательна, на луче – положительна. Значит, на первом из указанных промежутков функция возрастает, на втором – убывает, на третьем – возрастает.

Рис. 2

Концевые точки включаются в промежуток монотонности функции, если она непрерывна в этих точках. Таким образом, функция возрастает на луче , убывает на отрезке [– 1; 0], возрастает на луче .