Методические указания к контрольной работе №6 по теме «Производная и ее применение» по дисциплине «Математика» для слушателей подготовительного отделения ДГТУ (стр. 3 )

График функции будем строить по «точкам». Для этого составим таблицу значений функции , куда обязательно включим значения функции в концевых точках промежутков монотонности x=–1 и x=0 и еще два-три значения:

х	– 1	0	1	– 2
y	0	–1	4	–5

Рис. 3

Отметим эти точки на координатной плоскости. Учтем, что в точках х=–1 и х=0 производная равна нулю, т. е. касательная к графику функции в указанных точках параллельна оси абсцисс. Учтем также, что функция непрерывна, т. е. ее графиком является сплошная линия. График заданной функции изображен на

рисунке 3.

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство f’(x)=0, то функция y=f(x) постоянна на промежутке Х.

2.2. Точки экстремума функции и их отыскание

Определение 1. Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки ) выполняется неравенство

.

Так функция, график которой изображен на рисунке 3, имеет точку минимума х=0, потому что у этой точки существует окрестность, например, для всех точек которой, кроме точки х=0, выполняется неравенство . Значение функции в точке минимума обычно обозначают .

Определение 1. Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки ) выполняется неравенство

.

Так функция, график которой изображен на рисунке 3, имеет точку максимума х = – 1, потому что у этой точки существует окрестность, например, , для всех точек которой, кроме точки х = –1, выполняется неравенство . Значение функции в точке максимума обычно обозначают .

Точки минимума и максимума функции объединяются общим термином – точки экстремума.

Теорема 4. Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются критическими точками.

Теорема 5. Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку . Тогда:

1) если при переходе через точку производная функции y = f(x) меняет знак с «плюса» на «минус», т. е. слева от точки и справа от точки , то - точка максимума функции y = f(x) (рис. 4);

2) если при переходе через точку производная функции y = f(x) меняет знак с «минуса» на «плюс», то - точка минимума функции y = f(x) (рис. 5).

Рис. 4 Рис. 5

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы.

1.  Найти производную f’(x).

2.  Найти стационарные и критические точки.

3.  Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4.  Опираясь на теоремы 1 – 4 сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума.

Пример. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Решение. Заметим, что функция всюду непрерывна, кроме точки х = 0 (в этой точке знаменатель обращается в нуль). Воспользуемся указанным выше алгоритмом.

1.  Найдем производную заданной функции:

.

2.  Производная обращается в нуль в точках х = 2 и х = –2 – это стационарные точки. Производная не существует в точке х = 0, но это не критическая точка, это точка разрыва функции.

3.  Отметим точки – 2, 0, 2 на числовой прямой и расставим знаки производной на получившихся промежутках.

Рис. 6

4.  Делаем выводы: на луче функция убывает, на полуинтервале [–2; 0) функция возрастает, на полуинтервале (0; 2] функция убывает, на луче функция возрастает. Далее, х = –2 – точка минимума, причем (подставили значение х = –2 в формулу ). Аналогично устанавливаем, что и х = 2 – точка минимума, причем .

2.3. Применение производной к построению графиков функций

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной.

При исследовании свойств функции полезно найти:

1.  область ее определения;

2.  производную;

3.  стационарные и критические точки;

4.  промежутки возрастания и убывания;

5.  точки экстремума и значения функции в этих точках;

6.  точки пересечения графика с осями координат.

Для более точного построения графика обычно находят координаты еще нескольких точек графика.

Пример. Построить график функции .

Решение. 1. Область определения – множество R всех действительных чисел.

2. .

3. Решая уравнение находим стационарные точки и .

Рис. 7

4. Производная положительна на интервале – 1 < x < 0, следовательно, на этом интервале функция возрастает. На промежутках x < – 1 и x > 0 производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает. 5. Стационарная точка является точкой

минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «–» на «+»; f(–1) = – 0,5. Точка – точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «–»; f(0) = 1. Составим таблицу.

x	x < – 1	– 1	–1 < x < 0	0	x > 0
f’(x)	–	0	+	0	–
f(x)		– 0,5		1

6. Точка пересечения с осью Oy уже найдена – (0, 1).