Методические указания к контрольной работе №6 по теме «Производная и ее применение» по дисциплине «Математика» для слушателей подготовительного отделения ДГТУ (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Донской государственный технический университет

Центр довузовской подготовки, профориентации

и абитуриентского резерва

Методические указания

к контрольной работе №6 по теме

«ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ»

по дисциплине «Математика»

для слушателей подготовительного отделения

ДГТУ

заочной формы обучения

Ростов-на-Дону

2010

Составитель кандидат педагогических наук .

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ: Метод. указания к контрольной работе №6 по дисциплине «Математика». /ДГТУ ГОУ, Ростов н/Д, 2010.– 29с.

Предлагаемые методические указания содержат минимум теоретического материала, необходимый для выполнения контрольной работы №6 по теме «Производная и ее применение».

Методические указания предназначены для слушателей подготовительного отделения заочной формы обучения.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

© Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Донской государственный технический университет, 2010.

Содержание

Введение…………………………………………………..……………………	4
Теоретическая часть……………………………………………………….….	5
	Часть I. Производная функции ……….....………………………………..	5
		1.1. Понятие производной………………………..................................	5
		1.2. Вычисление производных………………………………………..	7
		1.2.1. Формулы дифференцирования………………………………	7
		1.2.2. Правила дифференцирования.……….....................................	7
		1.2.3. Дифференцирование функции y=f(kx+m).…………………	8
		1.3. Уравнение касательной к графику функции..................................	9
	Часть II Применение производной для исследования функций…………………………………………………………………………...	10
		2.1. Исследование функций на монотонность………………………...	10
		2.2. Точки экстремума функции и их отыскание……………………..	13
		2.3. Применение производной к построению графиков функций…...	15
		2.4. Наибольшее и наименьшее значения функции.………………….	18
Тренинговые задания………………………………………..............................	21
Контрольная работа №6……………………………………………………….	24
Ответы к тренинговым заданиям……………………………………………..	28

Введение

Предлагаемое пособие содержит методические рекомендации к выполнению шестой контрольной работы курса «Математика» по теме: «Производная и ее применение».

Первая часть пособия содержит минимум теоретического материала по данной теме. Здесь вводятся основные понятия темы: предел функции, производная функции в точке, точки экстремума, стационарные точки; приводятся формулы для вычисления производных некоторых элементарных функций, рассматриваются основные правила вычисления производных. Далее вводятся алгоритмы использования производной для исследования функции на монотонность, нахождения точек экстремума, наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и интервале, построения графика функции.

Во второй части пособия собраны тренинговые задания с ответами, решение которых поможет овладеть навыками исследования свойств различных функций и построения их графиков с помощью производной.

В конце пособия приводится текст контрольной работы №6, выполнение которой позволит оценить степень овладения данной темой.

Теоретическая часть

Часть I. Производная функции

1.1. Понятие производной

Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движения проходит путь s(t), т. е. задана функция s(t).

Зафиксируем какой-нибудь момент времени t и рассмотрим промежуток времени от t до t + h, где h – малое число. За время от t до t + h точка прошла путь длиной

s(t + h) – s(t).

Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени равна отношению

.

Из курса физики известно, что при уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью в момент времени t и обозначается V(t). Число V(t) называют пределом данного отношения при h, стремящемся к нулю, и записывают так:

.

Это равенство означает, что отношение можно рассматривать как приближенное значение мгновенной скорости V(t). Если h, уменьшаясь, стремится к нулю, то погрешность приближения становится сколь угодно малой, т. е. также стремится к нулю.

Например, если , то

.

Если . Отношение называют разностным отношением, а его предел при называют производной функции s(t) и обозначают s’(t).

Определение. Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, х – точка этого промежутка и число , такое, что х + h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения при (если этот предел существует) называется производной функции f(x) в точке х и обозначается f’(x). Таким образом,

.

Если функция f(x)имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Дадим теперь строгое определение предела функции в точке, которым мы пользовались выше.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 и обозначается , если для любого числа существует число , что для всех х, удовлетворяющих условию , где , выполняется неравенство .

Поясним это определение предела функции. Число А является пределом функции f(x) в точке х0, если значения f(x) при х, достаточно близких к х0, становятся как угодно близкими к числу А, т. е. значения становятся как угодно малыми.

Это означает, что можно взять сколь угодно малое положительное число ε и убедиться в том, что для всех х, отличающихся от х0 меньше, чем на некоторое число δ, модуль разности между f(x) и числом А будет меньше взятого числа ε.

Производная функции является одним из особых пределов, имеющих большое практическое значение.

1.2. Вычисление производных.

1.2.1. Формулы дифференцирования

Формулами дифференцирования обычно называют формулы для отыскания производных конкретных функций, например:

1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.

8. 9. 10. 11. 12.

Пример. Найти значение производной данной функции в данной точке: а) , б) .