Основы теории управления (стр. 6 )

В структуре показан нелинейный элемент с передаточной функцией WH и линейный элемент с непрерывной передаточной функцией W(S).

Общее аналитическое нелинейной системы может быть представлено следующим способом:

U(t) = F[D(t)] .   (3.1)

Относительно изображений уравнение (3.1) примет вид

U(p) = L{F[D(t)]} = .   (3.2)

На выходе линейной части сигнал y(p) определяется уравнением

y(p) = W(p)u(p),   (3.3)

где W(p) – передаточная функция линейной части.

С учетом уравнения (3.2) уравнение (3.3) примет вид:

y(p) = W(p)u(p) = W(p) L{F[D(t)]} = W(p) dt,   (3.4)

где D(t) = x(t) – y(t) или в пространстве изображений D(p) = x(p) – y(p).

Уравнение (3.4) является нелинейным, поскольку в него входит изображение D(t) и нелинейная функция F[D(t)]. При переводе уравнения (3.4) к оригиналу согласно теореме свертывания преобразования Лапласа получим

y(t) = .   (3.5) 

Уравнение (3.5) является интегральным нелинейным и не имеет общих методов решения. Они могут быть получены численными методами или с помощью программных комплексов с применением персональных компьютеров.

Уравнение свободных колебаний (характеристическое уравнение) замкнутой системы имеет следующий вид:

,   (3.6)

где W(jω) – частотная передаточная функция линейной части; WH(а) – эквивалентная частотная передаточная функция нелинейной части. Представим выражение (3.6) в виде уравнения Гольдфарба:

   W(jω) = –GH(a),  (3.7)

где GH(a) = 1/WH(a).

Уравнение (3.7) решается графически. Для этого на комплексной плоскости строится АФЧХ линейной части при изменении ω от 0 до ∞ и обратная АФЧХ нелинейной части при изменении а от 0 до ∞, где а – амплитуда гармонического воздействия. Точка пересечения кривых АФЧХ определяет амплитуду и частоту возможных автоколебаний. Если точки пересечения нет, то автоколебания невозможны. Критерий устойчивости Гольдфарба формулируется следующим образом. Если линейная часть разомкнутой системы устойчива, то точка пересечения характеристик W(jω) и –1/WН(a) соответствует устойчивым автоколебаниям, когда в этой точке характеристика –1/WН(a) выходит из контура W(jω). Если же в точке пересечения характеристика –1/WН(a) входит в контур W(jω), то такая точка соответствует неустойчивым автоколебаниям. Сформулированный критерий Гольдфарба является необходимым, но недостаточным. Однако в большинстве практических задач указанный критерий оказывается достаточным, причем тем вероятнее, чем больше фильтрующие свойства линейной части системы. Эквивалентная частотная передаточная функция нелинейного элемента может быть представлена в следующем виде:

  ,   (3.8),

где q(a) – модуль эквивалентной частотной передаточной функции (эквивалентная амплитудная частотная характеристика); М(а) – аргумент эквивалентной частотной передаточной функция (эквивалентная фазовая частотная характеристика). Вид q(a) и М(а) зависит от типа нелинейности, в частности, для двухпозиционного релейного регулятора

;

M(a) = 0.

Для трехпозиционного релейного регулятора ; M(a) = 0. На рис. 3.4. представлены АФЧХ линейной и нелинейной части, иллюстрирующие применение метода Гольдфарба. На рис. 3.4 точка М соответствует неустойчивым колебаниям, а точка N соответствует устойчивым автоколебаниям. Таким образом, рассмотренный подход позволяет производить анализ процессов и выявить особенности поведения нелинейных систем.

4. УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО систем автоматизированного регулирования

4.1. Основные условия устойчивости

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Устойчивость САР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия. Это поведение описывается свободной составляющей дифференциального уравнения, которое описывает систему. Если свободная составляющая рабочего параметра объекта управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами, устойчивость системы есть затухание ее переходных процессов.

Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная состав­ляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колеба­ний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.

Оценка устойчивости производится на основе результатов исследо­вания свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях

.  (4.1)

Решение уравнения (4.1) представляет собой сумму слагаемых, вид которых определяется значениями корней характеристического уравнения

.

Если система представлена в виде передаточной функции, то для анализа устойчивости используется ее собственный оператор (знаме­натель передаточной фикции).

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости.

Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработано ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчи­вости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные – графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устой­чивость.

4.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Алгебраический критерий Гурвица находит широкое применение при анализе САР. Первоначально из коэффициентов уравнения (4.1) состав­ляется матрица главного определителя:

.

По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения (4.1), начиная с а1. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз – уменьшались.

Для устойчивой системы необходимым и достаточным является то, чтобы при а0 > 0 все диагональные определители были также положительными, т. е.

 и т. д.

Система будет нейтральной в том случае, если Dn = 0 и все предыдущие определители положительны.

4.3. Частотный критерий устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из уравнения (4.1) путем подстановки S = jw получают аналитическое выражение вектора D(jw):

.   (4.2)

Уравнение (4.2) является комплексным и может быть представлено в виде:

где   

Построение годографа производится по уравнению вектора D(jw) при изменении частоты от 0 до ¥.

Для случая устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при w = 0 годограф начинался на вещественной положительной оси и обходил против часовой стрелки n квадран­тов, нигде не обращаясь в нуль.

Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной.

4.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста

Данный критерий позволяет по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы оценить устойчивость системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически.
Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ не охватывала точку с координатами –I, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами –I, j0, то система будет нейтральной.

Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.