Глава 2 Функции многих переменных (стр. 2 )

окрестность целиком входит в множество A.

Т. е. для некоторого

Определение 8(открытого множества)

Множество Aназывается открытым, если все его точки внутренние.

Примеры.

Окрестность точки - открытое множество, так как все ее точки - внутренние

(рис.6в).

Определение 9(граничной точки множества)

Пусть дано множество A

Точка называется граничной точкой множества A, если в любой

окрестности есть как точки, входящие в множествоA, так и точки, в него не входящие(эта точка как бы находится «между множеством и не-множеством»).

Примеры.

1.  Круг на плоскости. Граничные точки-точки окружности. Действительно, для всякой точки окружности A и любой

–окрестности A часть окрестности входит в круг(заштрихована), а часть –не входит(не заштрихована).Они граничные.

А для точки B не на окружности есть -окрестность, вся лежащая в круге.

Эти точки не гртаничные.(рис.7а)

2.  Шар в пространстве. Граничные точки-точки сферы Действительно, для всякой точки сферы A и любой

–окрестности Aчасть окрестности входит в шар(заштрихована), а часть –не входит(не заштрихована).Они граничные.

А для точки B шара вне сферы есть -окрестность, вся лежащая в шаре.

Поэтому эти точки не граничные.(рис.7б)

3.  Заметим, что окрестность имеет те же граничные точки, что

и замкнутый шар с центром радиуса R.

Определение 10(замкнутого множества)

Множество Aназывается замкнутым, если содержит все свои граничные точки.

Примеры.

Замкнутый шар-замкнутое множество, так как содержит границу-сферу.

Окрестность точки-не замкнутое множество, так как не содержит границу-сферу(рис.7).

Определение 11(области).

Множество Aназывается областью, если оно открыто и ограничено.

Пример. Окрестность точки- область(примеры к определению 6 и 8).

Перейдем теперь к определению пределов функций многих переменных.

На плоскости может встретиться последовательность точек ,n=1,2,… приближающаяся к какой-то точке (рис.8) Это можно выразить через расстояние: .

То же можно записать для точек

Определение 12(сходимости последовательности точек).

ПустьТогда говорят, что если

числовая последовательность. Вспомним, что означает . По определению

Т. е., если последовательность точек ,n=1,2,… приближается к какой-то точке то.

Заменяя последовательность любыми точками, будем понимать что

Т. е.это расстояние становится меньше любого наперед заданного

>0 и точка

будет при этом входить в окрестность радиуса

точки Значит. мы заменяем пределом Это аналогично пределу функции одного числового переменного (Хотя не есть функция )

Для функции одного переменного это означало, что становится сколь угодно близкой к b( ), если

достаточно близка к 0 (т. е. при ). )

Поэтому получаем

Определение 13(предела функции многих переменных).

Пусть функция определена в некоторой окрестности кроме, может быть, точки

Говорят, что если

Замечание 1 .Т. к.

то

Т. е. расстояние между точками бесконечно малая тогда и только тогда, когда имеет место покоординатная сходимость точек и

Замечание 2.Для функций многих переменных рассматриваем только конечные пределы.

Пример.

Найти . Имеем И по определению

Теорема 1(св-ва пределов)

Пусть Тогда

Так как , то доказательство не отличается от доказательства для функций одного переменного. Мы доказательств не приводим.

Пример. Найти

*y+x/(y-2)=

Замечание. Если функция двух переменных определена на множестве A, имеющем точку

граничной и, следовательно,

не содержащем никакой ее окрестности. Тогда аналогично можно определить предел в этой точке по множеству A

Определение 14(предела функции многих переменных по множеству).

Пусть функция определена на множестве A и точка

является внутренней или граничной точкой этого множества

Говорят, что предел функции по множеству A

если

Замечание. Для пределов по множеству выполнены все свойства пределов.

2.3 Непрерывные функции многих переменных в точке. Их арифметические свойства. Непрерывность функций от одной переменной. Непрерывность суперпозиции. Непрерывность на множестве. Теоремы Вайерштрасса.

Определение 14 (непрерывность функции в точке)

Пусть функция f(n переменных определена в . Она называется непрерывной в , если

Замечание. Если f( непрерывна в , то ее график(поверхность) не «разрывается» в этой точке. Например, если (x, y) то точка графика. То есть, если двигаться по графику непрерывной функции в направлении (a, b), то попадаешь в точку графика (a. b,f(a, b).