Глава 2 Функции многих переменных (стр. 5 )

Пусть функция f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0,y0).

единичный вектор, приложенный в этой точке.

Тогда прямая имеет часть, лежащую в этой окрестности, на которой будет определена функция. На прямой она будет функцией одного

переменного t, записываемой f (at+x0,bt+y0) и имеющей в t=0 значениеf(x0,y0).

Если эта функция дифференцируема в t=0, то эта производная называется

производной от f(x, y) в точке (x0,y0) по направлениюЭто записывается так:

Следствие. Производная по направлению, как производная функции 1-го переменного определяет скорость изменения функции в начальной точке по выбранному направлению.

Теорема 12(формула для производной по направлению)

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (x0,y0).

единичный вектор, приложенный в этой точке.

Тогда производная функции по направлению этого вектора будет:

Доказательство следует из применения формулы теоремы 10(проведите это!).

Дадим теперь следующее

Определение 21(градиента)

Если функция f(x, y) имеет в точке (x0,y0) обе производные, то составленный из них вектор называется градиентом функции f(x, y) в точке (x0,y0) .

Он обозначается

Следствие1 теоремы 12. С учетом этого определения формулу для производной по направлению можно переписать через скалярное произведение вектора направления и градиента:

Следствие2

Вектор градиент задает направление наибольшего изменения(возрастания) функции в точке его приложения.

Достаточно доказать, что модуль производной по направлению градиента максимален.

Действительно

И если (a, b) сонаправлен градиенту, то

достигает максимального значения. При этом производная больше 0,значит в направлении градиента функция всегда возрастает.

Пример1. Найти направления максимального изменения ln(x+y2) в точке (1.0) и скорость изменения функции по этому направлению.

Убывает или возрастает функция в направлении градиента?

gradf(1,0)=(

Единичный вектор по этому направлению будет

Производная по направлению положительна, поэтому функция по нему возрастает.

2.6 Производные высших порядков. Теорема Шварца. Примеры. Локальный экстремум.

Необходимое и достаточное условие. Пример.

Аналогично производным функции одного переменного определяются

производные высших порядков для функции многих переменных.

Причем производные каждого следующего порядка есть производные от производных предыдущего порядка. Определим подробнее производные 2

Порядка функции 2 переменных.

Определение 22(производных 2 порядка)

Если производные 1 порядка имеют свои производные в точке, то эти производные называются производными 2 порядка.

При этом в зависимости от порядка дифференцирования они обозначаются

Последние 2 производные называются смешенными. Причем понимание

связи записи для них с порядком дифференцирование условное, может меняться в разных учебниках. Но в силу следующей теоремы это не является существенным.

Теорема 13.

Если все производные функции1 и 2 порядка непрерывны в точке, то смешанные производные 2 порядка в ней равны.

Доказательство.

Напомним, что непрерывность двух производных функции дает ее дифференцируемость.

Имеем

(**)

Из непрерывности первых производных следует дифференцируемость функции в точке и формула для дифференцируемости дает

Подставив в (**), получим

.

Тогда

=

=(***)

Из дифференцируемости 1 производных по формуле дифференцируемости

=

=

Подставив это в (***), получим

.

Отсюда .

Положим и поделим на:

Получим

Перейдем к пределу при. Все o(1)-бесконечно малые.

Получим

, что и требовалось.

Пример 1.

Продемонстрируем это на примере.

f(x, y)=arctg(

Смешанные производные равны.

Пример 2. Пустьf(x, y) имеет непрерывные первые и вторые частные производные в O(x0,y0) (a, b),

x=x0+at, y=y0+bt-параметрические уравнения прямой.

Тогда по теореме

=

Замечание. (x, y)O(x0,y0) Действительно, d((x, y),(x0,y0)=

так как –-единичный вектор.

Т. е.d((x, y),(x0,y0) Это значит, что расстояние между точками прямой можно измерять по параметру t, если направляющий вектор имеет длину 1.

Далее будем изучать локальные экстремумы функции 2 переменных.

Определение 23.

Пустьf(x, y) определена в окрестности. Если в этой окрестности . то говорят, что (x0,y0)-точка локального минимума дляf(x, y), если в этой окрестности . то говорят, что (x0,y0)-точка локального максимума.

Точка (x0,y0)называется точкой локального экстремума. если она является точкой локального максимума или локального минимума.

Замечание. В точке локального максимума график образует «горку», в точке

локального минимума-«ямку» (см. рис. 11)