Глава 2 Функции многих переменных (стр. 3 )

Пример.

Ее график - плоскость с вырезанным «крестом» из координатных осей,

поднятым на уровень z=1, так, что он разрезан по координатным осям в.

И поэтому в точках этих осей нет непрерывности функции. В точках (x, y), xy

будет непрерывность, что видно по графику.(рис.9)

Теорема 2(арифметические св-ва непрер. функций)

Пусть функции n переменных непрерывны в Тогда

тоже непрерывны в

Доказательство следует из свойств пределов, и не приводится.

Теорема 3(непрерывность функции, зависящей от 1 переменного)

Пусть непрерывна как функция 1 переменного в точке a. Тогда функция

n переменных непрерывна в любой точке .

Доказательство.

Непрерывность доказана.

Теорема 4(непрерывность суперпозиции, для функции 2-х переменных)

Пусть функция f(x, y) непрерывна в (x0, y0), x(u, v),y(u, v) непрерывны в

(u0, v0),

причем x(u0,v0)=x0,y(u0,v0)=y0 .

Тогда f(x(u, v),y(u, v)) непрерывна в (u0, v0).

Доказательство.

По определению

f(x0,y0)=f(x(u0,v0),y(u0,v0)),

что и означает непрерывность.

Определение 15 (непрерывность функции в точке по множеству)

Пусть функция f(n переменных определена на множестве A, содержащем . Она называется непрерывной в по множеству A, если предел по этому множеству

Определение 16 (непрерывность функции на множестве)

Функция f(n переменных, определенная на множестве A, называется непрерывной на нем, если она непрерывна по этому множеству в каждой его точке.

Аналогично функциям одного переменного для функций многих переменных верны теоремы Вайерштрасса, которые приводятся без доказательства.

Теорема 4(1-я теорема Вайерштрасса, ограниченность непрерывной функции)

Пусть функция f(n переменных определена на замкнутом и ограниченном множестве A и непрерывна на нем. Тогда эта функция ограничена на множестве A.

Теорема 5(2-я теорема Вайерштрвсса, достижение непрерывной функцией максимума и минимума)

Пусть функция f(n переменных определена на замкнутом и ограниченном множестве A и непрерывна на нем. Тогда эта функция достигает на множестве A своего максимального и минимального значения.

Пример.определена и непрерывна на круге x2+y2

Круг замкнут и ограничен.

Там функция ограничена: и достигает минимума 0 в (1.0) и максимума единицы - в (0,0).

2.4 Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл.

Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие существования касательной плоскости, дифференцируемость. Дифференциал, его геометрический смысл.

Формула линеаризации и ее использование на примерах.

Изложение этого параграфа приводим для функций 2 переменных.

Это легко переносится на случай функций большего числа переменных.

Функция 2-х переменных f(x, y)

превращается в функцию 1-го переменного, если фиксировать другое переменное. А у функций одного переменного определена производная.

Определение 15(частных производных)

Частной производной от функции 2-х переменных f(x, y) в точке (x0, y0)

по переменной x называется производная от функции 1-го переменного

f(x, y0) в точке x0.

Аналогично

частной производной от функции 2-х переменных f(x, y) в точке (x0, y0)

по переменной y называется производная от функции 1-го переменного

f(x0,y) в точке y0.

Примеры.

Рассмотрим теперь геометрический смысл частных производных.

Если рассмотреть график функции z=f(x, y), точку графика (x0,y0, f(x0,y0)) и координатные линии в этой точке z=f(x, y0) и z=f(x0,y),то последние являются графиками

функций z=f(x, y0) и z=f(x0,y) в плоскостях y=y0, x=x0 соответственно. Если первая функция имеет производную по x в x0 . вторая –производную по y в y0, то эти производные будут равны тангенсам наклона касательных к соответствующим координатным линиям в точке (x0,y0, f(x0,y0))

По определению значения этих производных равны значениям соответствующих частных производных.

Поэтому геометрический смысл частных производных z=f(x,y) в (x0,y0) – это тангенсы наклона касательных к соответствующим координатным линиям в точке (x0,y0)

Выведем общепринятые формулы для частных производных.

Теорема 6(формулы для частных производных)

Если функция f(x, y) в точке (x0, y0) имеет частные производные, тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы, им равные

Доказательство.

Эти формулы легко вытекают из расписывания определения:

Например,ч. т.д. Для производной по y все аналогично.

Для дальнейшего изучения напишем по этим данным уравнения касательных прямых к координатным линиям в точке (x0,y0).

В плоскости x=x0 начальная точка z0=f(x0,y0), тангенс наклона касательной к координатнойy-линии

Поэтому уравнение этой касательной прямой

Аналогично в плоскости y=y0 начальная точка z0=f(x0,y0), тангенс наклона касательной к координатнойx-линии

Поэтому уравнение этой касательной прямой

Все эти касательные изображены на рисунке 9 а, 9б в вертикальных плоскостях и на рис.9в в трехмерном пространстве.

Заметим, что через 2 пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Сравнивая уравнения этих прямых, можно сразу написать уравнение этой плоскости. Это

..Эта плоскость содержит обе касательные прямые к координатным линиям на графике, значит вместе с этими касательными она - самая близкая проходящая через(x0,y0, f(x0,y0))плоскость к координатным линиям,

отличающаяся на o(x-x0) от x-линии и на o(y-y0) от y-линии, т. е. всегда на

, где ( т. к. и) вблизи точки

(x0,y0, f(x0,y0)).

Значит, если плоскость, проходящая через(x0,y0, f(x0,y0)),отличается от графика на при приближении к (x0,y0), то она совпадает с найденной плоскостью! Для любого графика это может быть не выполнено (см. рис.9)

Определим теперь понятие касательной плоскости к гафику.

Определение 16(касательная плоскость)

Пустьz=f(x, y) определена в окрестности точки. Тогда плоскостью, касательной к графику в точке называется плоскость z=z0+A(x-x0)+B(y-y0) все более приближающаяся к графикуz=f(x, y) при (x, y) ,что записывается:

f(x, y)=f(x0,y0) +A(x-x0)+B(y-y0) +o(где

Замечание

В силу проведенных перед определением касательной плоскости рассуждений получаем, если функция имеет обе частные производные в точке , то касательная плоскость должна иметь уравнение