Глава 2 Функции многих переменных (стр. 4 )

. Сейчас покажем обратное.

Теорема 7(формула для касательной плоскости)

Если график z=f(x, y) имеет касательную плоскость z= f(x0,y0) +A(x-x0)+B(y-y0) в точке , то эта функция имеет частные производные в этой точке

и

Доказательство.

Достаточно доказать для одного коэффициента, для другого все аналогично.

Будем действовать по формуле для частных производных.

по определению o(x-x0).

Определение 17(дифференцируемость)

Пустьz=f(x, y) определенная в окрестности точки называется дифференцируемой в точке , если у графика функции в этой точке существует касательная плоскость.

Замечание 1. Это перефразированное определение существования касательной плоскости удобно тем, называет существование касательной плоскости одним словом, что упрощает изложение.

Замечание 2 . Другими словами при выполнено

асимптотическое равенство

f(x, y)=f(x0,y0) +A(x-x0)+B(y-y0) +o( где, что совпадает с общепринятым определением дифференцируемости.

В силу формулы для касательной плоскости имеем для дифференцируемой в точке функции

отсюда следует

Теорема 8

Формула для приращения дифференцируемой в (x0,y0) функцииf(x, y) имеет вид

f(x, y)-f(x0,y0) =(x-x0)+(y-y0) +o(где

Замечание.

Из этой формулы при +()2 следует равенство

Т. е. приращение дифференцируемой функции имеет в этом случае главную линейную часть.

Эта линейная часть имеет свое название.

Определение 18(дифференциал)

Дифференциалом дифференцируемой в точке (x0,y0) функции f(x, y)

называется

Замечание1.При +()2 из равенства

следует, что при этом дифференциал есть главная линейная часть

приращения. В некоторых учебниках приводится такое определение дифференциала.

Замечание 2.(геометрический смысл дифференциала)

Запишем уравнение касательной плоскости в несколько ином виде:

Итак, получили, что дифференциал есть приращение аппликаты касательной плоскости(рис.10)

Так как график дифференцируемой функции приближается к графику касательной плоскости при приближении к точке, то естественно получить линейное приближение для дифференцируемой функции, заменяя ее касательной плоскостью вблизи точки.

Определение 19(формула линеаризации)

Формулой линеаризации (ФЛ) для дифференцируемой точке (x0,y0) функции f(x, y) называется приближенная формула

Замечание. Эта формула используется для приближенных вычислений.

Но для этого нужно уметь проверять, будет ли функция дифференцируемой.

Приведем достаточное условие дифференцируемости.

Теорема 9

Если функция

f(x, y) имеет в окрестности(x0,y0) обе частные производные, непрерывные в (x0,y0) , то она дифференцируема в (x0,y0) .

Доказательство.

Т. к.

Пример. Вычислим приближенно

Для этого введем в рассмотрению функцию 2-х переменных

Ее частные производные будут

Они непрерывны всюду, кроме (0,0). Следовательно всюду, кроме этой точки

функция дифференцируема. В частности она дифференцируема в точке

(x0,y0)=(3,4). Тогда z0=f(x0,y0)=

Применим формулу линеаризации для (x, y)=(3,023,3,934).

Тогда x-x0=0,23; y-y0=-0,66

Подставим это в ФЛ

Получим

2.5 Теоремы о дифференцировании сложных функций. Примеры. Производная по направлению. Градиент. Его геометрический смысл.

Теорема 10 .

Пусть функция двух переменных f (x, y) дифференцируема в точке (x0,y0),

x=x(t), y=y(t) дифференцируемы в t=t0 . причем x(t0)=x0,y(t0 )=y0. Тогда сложная функция f(x(t),y(t)) дифференцируема в t=t0, причем

Доказательство.

В силу дифференцируемости

где

бесконечно малая при

и значит при

Тогда

Используя это при переходе к пределу при

получим требуемое

Пример 1. Получим для примера, используя этот результат, формулу для дифференцирования частного двух функций u=u(x), v=v(x).

f(u, v,)= дифференцируема при .u(x),v(x)- дифференцируемы в Тогда Поэтому по теореме 10

= Это известная формула.

Теорема 11.

Пусть функция двух переменных f (x, y) дифференцируема в точке (x0,y0),

x=x(u, v), y=y(u, v) дифференцируемыв (u0,v0) . причемx(u0,v0)=x0,y(u0,v0 )=y0. Тогда сложная функция f(x(t),y(t)) дифференцируема вt=t0, причем

Доказательство.

Частная производная от функции по u считается при фиксированном v. При этом x(u, v), y(u, v) тоже превращаются в функции 1-го переменного u, а частные производные есть производные от функций одного u. Таким образом первая формула-это формула предыдущей теоремы. Вторая формула получается аналогично при фиксировании u.

Пример. Найти частные производные

f(x, y)=.

Можно рассмотреть вспомогательные функции u(x, y)=x2+y4, v(x, y)=sin3(x+y).

Здесь внешняя функция ln(u+v). Ее производные

Перейдем к рассмотрению производной в точке по заданному направлению.

Определение 20.(производной по направлению)