Глава 2 Функции многих переменных (стр. 6 )

Теорема 14(необходимые условия экстремума)

Если (x0,y0) точка локального экстремума дляf(x, y) и существует какая - либо частная производная в этой точке. то она равна 0.

Доказательство.

Пусть для определенности существует частная производная по x.

Тогда по определению

График функции f(x, y0) является координатной x–линией на графике f(x, y) и одновременно с ним имеет в x=x0«горку»,

или «ямку», т. е. локальный экстремум(см. рис.12)Так как функция f(x, y0)

дифференцируема в x=x0, то ее производная равна 0, а вместе с ней равная ей частная производная .

Замечание. Если существуют обе частные производные, то они обе равны 0. На этом основании разыскиваются точки, в которых может быть локальный экстремум.

Определение 24.

Точка (x0,y0) называется критической точкой для f(x, y), если обе ее частные производные в этой точке равны 0:

Теорема 15(достаточные условия экстремума)

Пустьf(x, y)определена в окрестностии имеет в ней непрерывные

первые и вторые производные. В точке (x0,y0) выполнены необходимые условия экстремума:

Обозначим

Тогда

если то в точке (x0,y0)будет локальный экстремум: максимум при

A<0 и минимум приA>0;

если то в точке (x0,y0)будет локального экстремума нет;

если то ничего сказать нельзя.

Доказательство.

Рассмотрим функции

В точке (x0,y0) они совпадают с A, B,C,соответственно.

Все эти функции вместе с вторыми производными непрерывны в окрестности По свойствам непрерывных функций, если

в (x0,y0) эти функции не равны 0, то они сохраняют знак в некоторой окрестности Эту окрестность можно считать одинаковой для обеих, не равных нулю в (x0,y0) функций

Рассмотрим единичный вектор (a, b),

Возьмем прямуюx(t)=x0+at, y(t)=y0+bt, заданную параметрически. В силу

примера 2 к теореме 13

из-за необх. условий

экстремума.

=

Все эти производные непрерывны на прямой x=x0+at, y=y0+bt.

Запишем для функции f(x, y) на этой прямой формулу Тейлора 1-го порядка в форме Лагранжа в точке t=0.

f(x(t),y(t))-f(x0,y0)=

При наличии экстремума в t=0 в рассматриваемой окрестности необходимо и достаточно сохранение в окрестности знака этого приращения функции.

t2>0, значит, надо исследовать знак выражения

прит. е. соотв. точка прямой лежит внутри

Пусть а значит тоже (сохраняет знак ).

Направляющий вектор прямой не равен 0. Пусть для определенности

Тогда

b2>0. В скобке стоит квадратный трехчлен относительно

Он не меняет знак при , что выполнено.

При этом знак трехчлена (приращения функции) совпадает со знаком A.

Т. е. при A>0 приращение положительно –что дает локальный минимум, при A<0

приращение отрицательно – это локальный максимум, что и требовалось.

Если то

И аналогичным образом меняет знак при разных (a, b). Т. е. на 2-х разных прямых x(t)=x0+at, y(t)=y0+bt имеем в t=0

выполнение необходимых и достаточных условий строгих экстремумов, на одной для максимума(2-я произв. в 0 меньше 0), для другой для минимума(2-я произв. в 0 больше 0). Т. е общего экстремума во всей окрестности нет. Что и требовалось.

2.7 Теорема Юнга для 2-х и 3-х переменных. Уравнение касательной к графику неявной функции. Свойство градиента. Примеры.

Разберем теоремы о неявных функциях.

Для примера рассмотрим уравнение x2+y2=4 или x2+y2+z2=1.

Первое является уравнением окружности на плоскости, второе – уравнением сферы в пространстве. Возникает вопрос, являются ли эти множества или их части графиками функций? Первое можно разрешить относительно y, второе - относительно z. Получим

В обоих случаях получим в качестве решения по 2 разные функции. Попробуем получить условия разрешимости таких уравнений.

Теорема 16.

Пусть имеем уравнение F(x, y)=0.(*)

Оно определяет кривую на плоскости.

(x0,y0) принадлежит этой кривой. Пусть F(x, y) непрерывна и имеет в некоторой окрестности

каждой точки кривой непрерывные в этой точке частные производные.

Пусть Тогда существует

функция y=y(x), y(x0)=y0, определенное и единственное в некоторой окрестности точки x0 решение уравнения(*).При этом y=y(x) дифференцируема в x0.

и

Доказательство.

Рассмотрим любую окрестность (x0,y0), где и сохраняет знак(существует из непрерывности и условия теоремы)

Предположим для определенности, что эта производная там больше 0.Уменьшив окрестность, можно считать, что это выполнено вплоть до ее границы.

Тогда F(x0,y) строго возрастает в пределах этой окрестности по y. Поэтому

на границе той же окрестности существуют точки (x0,y1), (x0,y2) (y1<y0<y2), где F(x0,y1)<0=F(x0,y0)<F(x0,y2) , (см. рис. 13). В силу непрерывности F(x, y) найдется

где для всех на нижней и верхней границах окрестности будет F(x,)<0<F(x,), Тогда из-за положительности и непрерывности F(x, y).

Итак, решение уравнения найдено. Это будет непрерывная функция по

x. Действительно, при уменьшении исходной окрестности до рад.

, мы получим

решение , которое в его области определения будет совпадать с построенным в силу единственности последнего (рис. 13a). Кроме того

точки (x, y(x))(рис. 13б). Это есть непрерывность

y(x) в x0. Все другие точки графика y(x) при ничем не отличаются от

(x0,y0), т. е. в них функция тоже непрерывна. Значит, она непрерывна во всей области своего определения.

Далее по свойству дифференцируемости F(x, y)=F(x0,y0)+ Так как F(x0,y0)=0,то

Подставим найденное решение, получим тождество:

Поэтому

Поскольку у(x) непрерывна в x0 , то при и

Получаем формулу дифференцируемости y(x) вx0.

При этом

Теорема 17.

Пусть имеем уравнение F(x, y,z)=0(*).

Оно определяет поверхность в пространстве.

(x0,y0,z0) принадлежит этой поверхности. Пусть F(x, y,z) непрерывна и имеет в некоторой окрестности

каждой точки поверхности непрерывные в этой точке частные производные.

Пусть Тогда существует функция z=z(x, y), z(x0,y0)=z0, определенная и единственная в некоторой окрестности

, удовлетворяющая там уравнению(*).При этом z=z(x, y) дифференцируема в (x0,y0).

Кроме того

Доказательство аналогично доказательству теоремы 16, его не приводим.

Рассмотрим пример:

Дано уравнение xy2+5y6x3-6=0. Точка (1,1) ему удовлетворяет.

1)Разрешимо ли оно относительно y в окрестности x=1?

2) Существует ли у него 2-ая производная? Чему равна первая производная в x=1 ?

По теореме 16 имеем F(x, y)= xy2+5y6x3-6,

Поэтому уравнение имеет решение, определенное в

Оно имеет в этой окрестности производную, равную

Она тоже непрерывна в окрестности и вместе с y(x) имеет там производную, являющуюся для y(x) второй производной.

В точке 1 значение первой производной будет