Глава 2 Функции многих переменных (стр. 1 )

Глава 2 Функции многих переменных

2.1 , скалярное произведение, длина вектора, расстояние и их свойства.

Функция многих переменных, область определения, линии уровня. График и координатные линии. Примеры.

2.2 Окрестности точек. Внутренние, граничные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества, области. Пределы функций в точке. Арифметические свойства пределов

2.3 Непрерывные функции многих переменных в точке. Их арифметические свойства. Непрерывность функций от одной переменной. Непрерывность суперпозиции.

Непрерывность на множестве. Примеры. Ограниченные множества. Граничные точки, замкнутые множества. Теоремы Вайерштрасса.

2.4 Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл.

Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие существования касательной плоскости, дифференцируемость. Дифференциал, геометрический смысл и формула.

Формула линеаризации и ее использование на примерах.

2.5 Теоремы о дифференцировании сложных функций. Примеры. Производная по направлению. Градиент. Его геометрический смысл.

2.6 Производные высших порядков. Теорема Шварца. Примеры. Локальный экстремум.

Необходимое и достаточное условие. Пример.

2.7Теорема Юнга для 2-х и 3-х переменных. Уравнение касательной к графику неявной функции. Свойство градиента. Примеры.

2.1 , расстояние и егосвойства. Функция многих переменных, область определения, линии уровня. График и координатные линии. Примеры

Прежде, чем приступить к изложению материала, напомним некоторые понятия, известные из алгебры.

Постранством Rn называется множество упорядоченных наборов из

n чисел, с покоординатными операциями сложения и умножения на число:

Rn={(x1, x2,…,xn), xi},

(x1, x2,…,xn)+(y1, y2,…,yn), =(x1 +y1 , x2 +y2,…,xn +yn),

a*(x1, x2,…,xn), =(ax1, ax2,…,axn).

Эти операции обладают многими естественными свойствами, например,

перстановочность сложения, разные правила раскрытия скобок, наличие нулевого элемента (0,…,0) () , обратного элемента (-x1, - x2,…,-xn) ().

Тогда расстоянием между точками называется

Свойства расстояния следующие:

1)

2)

3)

Последнее неравенство называется неравенством треугольника.

После этого введения перейдем к предмету этой главы.

Определение 1.(функции многих переменных)

Пусть какое-то подмножество .

Тогда говорят, что задана функция n переменных с областью определения

, если для любой точки единственным образом определено число f.При этом назывется областью определения функции f

Примеры.. Область определения (рис.1)

Определение 2.(поверхности уровня)

Пусть функция n переменных, определенная на множестве X

Тогда поверхность, принадлежащая X, на которой , называется

поверхностью уровня

Замечание. Для размерности 2 поверхности уровня являются линиями и они называются линиями уровня.

Пример. Нарисовать линии уровня 0,1, 2 для.

f(x, y)=C, x2-y2=C2 , ПриC=0 имеем Это две прямые

x2/C2-y2/C2=1-гипербола. Для С=1,2 это изображено на рис.2.

Определение 3.(график)

Пусть функция n переменных, определенная на множестве X

Тогда поверхность n+1- мерного пространства

называется графиком функции

Пример. График функции 2-х переменных-поверхность в 3-х мерном пространстве. Пусть График будет параболоидом вращения

(рис.3). Здесь линия уровня

при С=0 будет точкой (0,0), а при С, большем 0 - окружностью радиуса ,

являющуюся проекцией окружности на графике, расположенной на высоте С(на «уровне» С) над плоскостью XOY.

Определение 4(координатные линии)

Пусть функция n переменных, определенная на множестве X

-

график функции Тогда координатной k-линией на графике функции

называется линия на графике, проекция которой находится на координатной линии

Пример. На графике координатными x-линиями будут

параболы z=x2 +y02 в вертикальной плоскости y=y0, координатными y-линиями будут параболы z=x02+y2 в вертикальной плоскости x=x0.(рис.4)

2.2 Окрестности точек. Внутренние, граничные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества, области. Пределы функций в точке. Арифметические свойства пределов

Для перехода к определению пределов функций нужно определить окрестности точек в Rn .

Определение 5(окрестность точки).

-окрестностью точки называется множество точек, удаленных от менее, чем на

.

Примеры. На плоскости -круг радиуса с центром без окружности(рис.5а). В трехмерном пространстве это –шар радиуса с центром без граничной сферы(рис.5б)

Замечание. Аналогично тому, как это делалось для окрестностей точек прямой, проколотые окрестности точек получаются выбрасыванием из ранее определенных окрестностей их центра. Обозначение для этих окрестностей сохраняется.

Определение 6(ограниченного множества)

Множество A называется ограниченным, если оно целиком содержится

Примеры. Окрестность любой точки ограничена(содержится в себе самой). Треугольник на плоскости ограничен. Пирамида в пространстве ограничена(рис.6)

Определение 7(внутренней точки множества)

Пусть дано множество A

Точка называется внутренней точкой множества A, если какая-то