Методические указания к практическим работам (стр. 5 )

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 9

Элементы математической логики

Цель: выработать умение построения таблиц истинности для сложных логических формул.

Теоретическая часть

Сводная таблица истинности логических операций

p	q		р q	pq	pq	p→q	p~q
0	0	1	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	1	0
1	0	0	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	0	1	1

Определение: Формула называется тавтологией (или тождественно истинной), если она истинна при любых значениях своих переменных.

Определение: Формула называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 на всех наборах входящих в неё переменных.

Практическая часть

1.  Пусть р={Гале нравится вязать}, а q ={ Гале нравится вышивать}. Выразите следующие формулы на естественном языке:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

2. Какие из следующих формул являются тавтологиями (проверить с помощью таблиц истинности):

а) ()

б)

в)

3. Докажите, что формула является тождественно ложной.

4. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций составное высказывание:

а) Если вчера было воскресенье, то Дима вчера не был в школе и весь день гулял.

б) Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то число делится на 3.

в) Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3.

5. Формализуйте следующие высказывания, постройте таблицы истинности для каждой из полученных формул и убедитесь, что результирующие столбцы совпадают.

F1 = {если все стороны четырёхугольника равны и один из его углов прямой, то этот четырёхугольник является квадратом}

F2 = {если все стороны четырёхугольника равны, а он не является квадратом, то один из его углов не является прямым}.

6.  Докажите следующие соотношения:

а)

б) ~

в)

г)

д) ~

7. Доказать с помощью таблиц истинности законы алгебры логики: 2б, 4б, 9б, 10б.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 10

Решение задач по теории вероятностей

Цель: отработать навыки решения задач по теории вероятностей.

Теоретическая часть

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n несовместных событий (гипотез) Пусть также имеется некоторое событие А и известны - вероятность гипотезы, - условная вероятность события А при этой гипотезе. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Решение: обозначим событие А={выбрана деталь отличного качества}, ={выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i=1, 2, 3. Тогда

; ;

По условию задачи

,

По формуле полной вероятности находим1 искомую вероятность:

Случайной величиной, связанной с данным опытом называется величина, которая при данном осуществлении данного опыта принимает то или иное числовое значение, заранее не известное какое именно. Случайные величины обозначаются Х, Y и т. д.

Примеры.

1) Опыт - бросается игральная кость один раз. Случайная величина Х - число выпавших очков. Множество значений случайной величины Х={1,2,3,4,5,6}.

2) Опыт стрельба по цели до первого попадания. Случайная величина Y - число израсходованных патронов – имеет множество значений {1,2,3,…}=N.

Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, кроме множества значений необходимо указать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное своё значение.

Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Для дискретной случайной величины Х закон распределения может быть задан виде таблицы.

В верхней строке перечисляются все возможные значения случайной величины Х (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке указываются вероятности соответствующих значений: - это вероятность того, что случайная величина Х принимает значение .

			…		(…)
			…		(…)

Зная закон распределения случайной величины можно найти дисперсию и математическое ожидание случайной величины.

DX=M(X2)-(MX)2

Практическая часть

1.  Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 - во втором, остальные в третьем. Первый и третий цех дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, 2-ой с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что взятая на удачу деталь будет отличного качества?

2.  Прибор работает в 2-х режимах :в благоприятном и в неблагоприятном, причем в благоприятном режиме работа прибора происходит в 80% всех случаев. Вероятность выхода прибора из строя в течение часа при благоприятном режиме работы равна 0,1, при неблагоприятном-0,7. Определить вероятность безотказной работы прибора в течение часа.

3.  Три станка производят соответственно50%, 30%, 20% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно1%, 2%, 1,5%. Какова вероятность того, что выбранное наугад изделие окажется бракованным?