Курс лекций по учебной дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения колледжа СФ БАШГУ (стр. 5 )

Решение. Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:

В нашем случае  , тогда искомый интеграл равен:

Ответ. 

Задание 2. Вычислить неопределенный интеграл 

Решение. Распишем подынтегральную сумму, используя тригонометрические функции (определение котангенса)

Внесем  под знак дифференциала:

Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

В результате получим

Ответ. 

Примеры решения неопределенных интегралов:

1) 

Лекция 4.

Введение понятия комплексного числа.

Понятие числа прошло длинный исторический путь. В процессе развития математики числовая система расширялась не один раз. Уже на ранних этапах развития человечества в результате счета возникают натуральные числа. Постепенно складывается представление о бесконечности множества натуральных чисел и появляется понятие натурального ряда бесконечной последовательности чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... . Затем возникают дроби, нуль, отрицательные числа, необходимые для
решения линейных уравнений вида

ах + b = 0 , где а и b - целые числа.

Поскольку рациональных чисел было достаточно для того, чтобы с любой степенью точности выразить результат любого измерения, то долгое время считали, что результат измерения всегда выражается или натуральным числом, или отношением двух таких чисел, т. е. дробью.

Однако еще в школе Пифагора был обнаружен тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому не может быть точно выражена рациональным числом. Это открытие привело в конце концов к тому, что в математику вошли иррациональные числа.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел, которое является расширением множества рациональных чисел, поскольку на нем также определены четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на нуль).

Важное место в алгебре занимает решение алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

,

где а0, а1, . . . , аn - действительные числа. Однако оказалось, что для решения таких уравнений действительных чисел явно не достаточно. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

х2 + 1 = 0 .

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

х = –1 .

Обозначим этот корень через i. Таким образом, по определению

i2 + 1 = 0 , или i2 = - 1 ,

следовательно, i= .

Символ i называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел а и b составляется выражение вида

z=a+bi .

Полученные выражения назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части (от французских слов rее1 – действительный и imaginaire – мнимый, воображаемый). Название комплексное переводится как составное - по виду выражения z = a+bi.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

z=a+bi ,

где а и b – действительные числа, а i – некоторый символ,
удовлетворяющий условию i= . Число а называется
действительной частью комплексного числа z=a+bi, а
число b его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

а = Re z , b = Im z .

Комплексные числа вида z=a+0∙i=а являются
действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел. Если потребовать, как мы сделаем это ниже, чтобы операции сложения и умножения комплексных чисел не выводили за пределы множества комплексных чисел и обладали всеми свойствами одноименных операций на множестве действительных чисел, то множество комплексных чисел будет расширением множества действительных чисел.

Комплексные числа вида z=0+bi называются чисто
мнимыми.

Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i
называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е. если выполняются равенства

a1 = a2 , b1 = b2 .

Определим операции сложения и умножения комплексных чисел.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида

.

Произведение двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i можно найти, почленно умножая числа z1 и z2:

.

Таким образом, произведением двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z1 ∙ z2 вида

.

Пример. Найдите сумму комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2= –3 – i.

Решение. z1+z2 = (2 + 3i ) + (–3 – i) = –1 + 2i.Ответ: –1 + 2i.

Пример. Найдите произведение комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2= –1 – i .

Решение. z1 ∙ z2 = (2 + 3i) + (–1 – i) =

= (–2 + 3) + (–3 –2)i = 1 – 5i. Ответ: 1 – 5i.

Свойства операций сложения и умножения комплексных чисел

Каковы бы ни были комплексные числа , справедливы следующие равенства.

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

.

3. Коммутативный закон умножения:

.

4. Ассоциативный закон умножения:

.

5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

.

6. z + 0 = z .

7. z ∙ 0 = z .

8. Произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

9. z ∙ l = z .

10. Любому комплексному числу z=а+bi соответствует противоположное комплексное число (–z) такое, что z + (–z) = 0 .

11. Всякому комплексному числу z=а+bi, отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число z–1 такое, что z ∙ z–1 = 1 .