Курс лекций по учебной дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения колледжа СФ БАШГУ (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ

КОЛЛЕДЖ

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

КОЛЛЕДЖА СФ БАШГУ

Разработчик (составитель)

преподаватель I категории

к. п.н.,

Стерлитамак 2016

Лекция 1.

Предел функции.

Определение. Число b называется пределом функции f(x) в точке а, если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от b.

Обозначение.

Основные теоремы о пределах.

1.  Предел суммы равен сумме пределов: .

2.  Предел постоянной равен самой постоянной, т. е. предел числа равен самому числу: , где С=const.

3.  Предел произведения равен произведению пределов: .

4.  Предел частного равен частному пределов, если при этом знаменатель имеет смысл:

Основные виды пределов и методы их решения.

1.  Простые пределы, стремящиеся к любому числу, решаются методом подстановки вместо неизвестного того числа, к которому оно стремится.

Пример: ;

2.  Сложные пределы, стремящиеся к любому числу, решаются с помощью формул сокращенного умножения, разложения квадратного трехчлена на множители с последующим сокращением и подстановкой.

Пример: ;

Как отличить второй способ от первого? – Если при подстановке получилось выражение , то всегда решают вторым способом, во всех остальных случаях – первым.

3.  Пределы, стремящиеся к 0 и содержащие неизвестное в каждом из слагаемых, решаются методом вынесения в числителе и знаменателе неизвестного в наименьшей степени с последующим сокращением и подстановкой.

Пример:

4.  Пределы частного многочленов, стремящиеся к , решаются по формуле

(находишь старший показатель n у неизвестного в числителе, затем находишь старший показатель m у неизвестного в знаменателе, сравниваешь и делаешь вывод о значении предела)

Замечание 1. Степень любого числа считается равной 0.

Замечание 2. Если n=m, значение предела равно частному множителей, стоящих при этих степенях.

Пример: ;

5.  Иррациональные пределы: домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к корням ( знак в сопряженном выражении изменяется только между корнями); после домножения применить формулу разности квадратов с последующим сокращением и подстановкой.

Пример: ;

Примеры вычисления пределов:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. Найти предел

Знаменатель и числитель дроби при x стремящемся к 2 стремятся к нулю, поэтому теорема о пределе здесь неприменима. В таких случаях нужно попытаться упростить дробь. Имеем

Это преобразование справедливо при всех значениях x, отличных от 2, поэтому в соответствии с определением предела можем написать

Задание 1. Вычислить пределы функций.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Лекция 2.

Производная функции и ее свойства.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

у

f(x)

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой - либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t - время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т. е. ускорение.

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во - первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во - вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3), если v ¹ 0

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(xm)¢ = mxm-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)