Курс лекций по учебной дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения колледжа СФ БАШГУ (стр. 7 )

Решение. .

Вычислим второе слагаемое:

.

Вычислим первое слагаемое:

((1−2i)2)2 = 1 − 8i − 24 + 32i + 16 = −7 + 24i.

Таким образом,

f(l −2i) = (−7 + 24i) + i − (−3 + 2i) = −4 + 23i.

Ответ: −4 + 23i .

Задача 4. Выполните указанные действия:

.

Решение. Вычислим значение дроби .

.

Следовательно,

.

Ответ : − 2i .

Задача 5. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.

Решение. Пусть z = х + yi - искомое комплексное число, где х и у - действительные числа. Тогда число , сопряженное числу z , равно х - yi . По условию задачи имеем: = z.

(x + yi)2 = х − yi . (1)

Преобразовав это уравнение, получим:

(х 2 − у2 ) + 2xyi = x − yi .

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системе уравнений с действительными переменными х и у:

Возможны два случая.

1) . Тогда система (2) равносильна системе:

которая имеет следующие решения:

;

.

2) у = 0 . Тогда система (2) равносильна системе

которая имеет два решения: (0;0) и (1;0) . Итак, искомых
чисел четыре:

; z3 = 0 ; z4 = 1 ,

из них два числа z3 и z4 - действительные, а два других − z1 и z2 - комплексно сопряженные.

Ответ: ; z3 = 0 ; z4 = 1 .

Задача 6. Известно, что z1 = 3 + i, z2 = 2i . Найдите:

a) ; б) .

Решение.

а) .

б) .

Ответ: а); б) .

Задача 7. Известно, что z1=1 + 2i, z2 = −3i. Найдите:

a) ; б) .

Решение.

а) .

б) .

Ответ: а); б) .

Задача 8. При каких действительных значениях х и у

комплексные числа z1 = x2 + yi − 5 − и z2 = –у – х2 i – 4i будут сопряженными?

Решение. Комплексные числа z1 = (х2 - 5) + (у + 7i) и z2 = (–у) – (х + 4)i будут комплексно сопряженными, если выполняются условия :

Решая полученную систему, находим:

х1 = 2 , у1 = 1 ; х2 = −2 , у2 = 1 .

Ответ: (2;1) ; (−2;1) .

Задача 9. При каких действительных значениях х и у
комплексные числа z1 = х −− 4 + 5i и z2 = у2 + 1 − 3xi будут противоположными?

Решение. Комплексные числа z1 = (х − 4) + (у2 + 5) и z2 = (у2 + 1) − 3xi будут противоположными, если выполняются условия:

Решая полученную систему, находим :

х1 = 2 , у1 = −1 ; х2 = 2 , у2 = 1 .

Ответ: (2;−1), (2;1).

Задача 10. При каких действительных значениях х и у комплексные числа z1 = 2x2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?

Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия:

Решая систему, находим:

х1 = −1 , у1 = 4 ; х2 = 1 , у2 = 4 . Ответ : (-1 ; 4) ; (1 ; 4) .