Курс лекций по учебной дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения колледжа СФ БАШГУ (стр. 6 )

Пользуясь понятиями противоположного и обратного комплексного числа, определим операции вычитания и деления комплексных чисел.

Для того чтобы найти разность двух комплексных чисел и , достаточно сложить число z1 с числом, противоположным числу z2 , т. е.

.

Пример. Вычислите z1 – z2 , если z1 = 5 – 2i ,

z2 = –3 + i.

Решение. z1 – z2 = (5 – (–3)) + (–2 – 1)i = 8 – 3i .

Ответ: 8 – 3i .

Для того чтобы разделить комплексное число на комплексное число , не равное нулю, достаточно умножить число z1 на число, обратное числу z2 , т. е.

Пример. Вычислите .

Решение.

.

Ответ: –1,7 + 0,l i .

Степени мнимой единицы

Вычислим степени мнимой единицы i. Прежде всего, как и для действительных чисел, положим i0 = 1 . Тогда

i1 = i ;

i2 = –1 (по определению мнимой единицы);

i3 = –i ;

i4 = –i2 = 1;

i5 = i ;

i6 = –1;

i7 = –i ;

i8 = –i2 = 1;

и т. д.

Вообще, если натуральный показатель степени mпри делении на 4 дает в остатке r , т. е. если m = 4n+r , где n – натуральное число, то

;

при этом

Пример. Вычислите а) i233 ; b) i102; с) i67 ; d) i516.

Решение. а) i233 = i232 + 1 = i ;

b) i102 = i100 + 2 = i2 = –1 ;

с) i67 = i64 + 3 = i3 = –i ;

d) i516 = i0 = 1 .

Ответ: a) i ; b) –1; с) –i; d) 1.

Модуль комплексного числа.

Извлечение корня квадратного из комплексного числа

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу, если

.

Пример. .

Свойства операции сопряжения

1. .

2. Для любого действительного числа а справедливо равенство .

3. Для любого действительного числа b справедливо равенство .

Справедливость свойств 1-3 следует непосредственно из определения операции сопряжения.

4. . 5. . 6. .

7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.

Действительно, .

Модулем комплексного числа z = а + bi называется действительное число вида

.

Непосредственно из свойства 7 следует, что .

8. Теорема о сопряженном корне.

Если число является корнем уравнения

(1)

с действительными коэффициентами а0, a1 , . . . , аn , то число также является корнем уравнения (1) .

Пример. Зная, что корнем уравнения

х3 – 7х2 + 17 х – 15 = 0 (3)

является число z1 = 2 + i , найти все корни данного уравнения.

Решение. Поскольку все коэффициенты уравнения (3) – действительные числа, то на основании теоремы 8 делаем вывод, что число z2 = 2 – i также является корнем уравнения (3).

Пусть z3 – неизвестный корень уравнения (3), тогда

х3 – 7х2 + 17 х – 15 = (x – z1) (x – z2) (x – z3) ;

х3 – 7х2 + 17 х – 15 = (х2 – 4 х + 5) (х – z3).

Разделив обе части последнего равенства на х2 – 4х + 5 , получим

х – z3 = х – 3 .

Следовательно, z3 = 3 . Ответ: 2 + i ; 2 –i ; 3.

Найдем значение корня квадратного из числа z=а+bi . Пусть

,

где х и у - неизвестные действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем:

.

Последнее уравнение равносильно системе уравнений

Возведем каждое уравнение системы в квадрат и сложим полученные равенства. Решим систему:

Из второго уравнения последней системы находим

,

где в правой части равенства следует иметь в виду арифметический корень, так как сумма х2+у2 неотрицательна. Учитывая, кроме того, что х2 –­­ у2 = а , получаем:

.

Так как , то оба полученные числа положительны. Извлекая из них квадратные корни, получим действительные значения для х и у :

.

Из соотношения 2 ху = b следует, что при b > 0 числа х и у имеют одинаковые знаки, а при b<0 противоположные.

Учитывая вышесказанное, получаем формулу:

В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если b > 0 , и знак минус, если b < 0 .

Пример. Вычислите .

Решение. Воспользуемся полученной формулой:

Ответ: (1 – 2i ) .
Пример. Решите уравнение

(2 + i )х2 – (5 – i )х + (2 – 2i) = 0 .

Решение. По формуле корней квадратного уравнения имеем:

.

Извлекая корень квадратный из числа – 2i, получаем

.

Следовательно,

Ответ: 1 – i ; 0,8 – 0,4 i .

Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Задача 1. Решите уравнение

(2 − i) x + (5 + 6i) у = 1 − 3i

относительно действительных переменных х и у.

Решение. Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду a + bi получаем уравнение, равносильное данному:

(2х + 5у ) + (− х + 6у ) i = 1 − 3i .

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Решая эту систему, получаем : х = ; у =.

Ответ: ; .

Замечание. При решении задачи мы существенно
использовали тот факт, что х и у по условию действительные числа. Если же х и у - комплексные числа, то приведенное решение неверно, так как в этом случае выражение 2х + 5у нельзя считать действительной частью искомого числа (аналогично, выражение −х + 6у не будет его мнимой частью).

Задача 2. Вычислите i36 ; i46 ; i125 ; i239.

Решение. Используем формулу:

С ее помощью легко получаем:

i36 = i0 = 1; i46 = i2 = −1; i125 = i ; i239 = i3 = −i .

Ответ: 1 ; −1 ; i ; −i .

Задача 3. Найдите значение функции

при x = 1 − 2i .