Основы теории упругости Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников строительных специальностей высших учебных заведений (стр. 2 )

; . (13)

Этому состоянию соответствует задача о бесконечном клине, нагруженном силой в вершине (рис. 10). Значения постоянных k и q0, можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:

(14)

; (15)

где a - угол полураствора клина и b - угол отклонения силы Р от биссектрисы угла.

Большое инженерное значение имеет частный случай - задача Фламана о действии силы на полуплоскость (рис. 4).

В этом случае угол полураствора клина равен a = 90°, угол b = 0°.

Постоянные: k =

Выражение для напряжений в полуплоскости принимает вид:

(16)

Рассмотрим напряженное состояние полуплоскости на разных глубинах. Для этого удобнее перейти к декартовым координатам.

Воспользуемся выражениями для напряжений по наклонным площадкам. В результате получим:

(17)

(18)

(19)

Изгиб прямоугольной пластинки

При решении задач изгиба прямоугольной пластинки (рис. 5) функцию прогиба w(x,y) находят путем интегрирования бигармонического уравнения изгиба пластинки:

(20)

Как было указано во введении, основная и наиболее трудоемкая часть задачи расчета жесткой пластинки заключается в определении функции w(x,y) как решения бигармонического уравнения Софии Жермен (20), удовлетворяющего заданной нагрузке и условиям опирания пластинки. Здесь q(x,y) –поверхностная нагрузка на пластинку; – цилиндрическая жесткость пластинки; h – толщина пластинки.

Внутренние усилия (рис. 6) и напряжения в пластинке связаны с перемещениями следующими зависимостями.

Изгибающие моменты:

(21)

Крутящий момент:

(22)

Поперечные силы:

(23)

Согласно принятой в теории изгиба пластинок гипотезы Бернулли – Кирхгофа о жесткой нормали, напряжения, создающие изгибающие моменты Mx, My, определяются по формулам сопротивления материалов:

, (24)

где W = 1·h2/6 – момент сопротивления элемента поперечного сечения пластинки единичной ширины.

Аналогично

Таким образом, если известна функция w(x,y), то, вычислив максимальный прогиб, можно проверить условие жесткости. Далее, определив внутренние усилия по выражениям (21) и и (22), можно найти их максимальные значения и по формулам (24) вычислить наибольшие напряжения и дать оценку прочности пластинки.

Уравнение (20) имеет множество решений и для отыскания своего решения необходимо воспользоваться граничными условиями – условиями опирания пластинки.

Запись условий опирания.

В теории пластинок приняты три основных вида опирания – защемление, свободное (шарнирное) опирание и свободный неопертый край.

Пусть левый край пластинки 0-1 с координатами х = 0, 0 ≤ у ≤ b защемлен (рис. 7). В этом случае граничные условия принимают вид:

1) прогиб w = 0,

2) угол поворота левой грани

Если защемлены верхний или нижний края пластинки, условия опирания имеют аналогичные выражения:

1) прогиб w = 0, 2) угол поворота нижней (верхней) грани

Представим, что верхний край 0 - 2 с координатами 0 ≤ x ≤ a, y = 0 шарнирно оперт. Тогда граничные условия записываются как:

1) прогиб w = 0,

2) Изгибающий момент на грани My = 0.

Поскольку производная по х на верхней опертой грани второе условие принимает вид:

2) My =

Если шарнирно оперты боковые грани, то условия опирания имеют вид:

1) w = 0, 2) Mx =

Пусть нижний край 1-3 (0 ≤ x ≤ a, y = b ) неоперт. В этом случае w ≠ 0, а нулю должны быть равны усилия (реакции) на свободном неопертом крае. Т. е.

1) My = 0, 2) Mxy = 0, 3) Qy = 0.

Два последних условия можно объединить в одно и граничные условия примут вид:

1)

2) .

Если неоперты правый или левый край, то граничные условия запишутся как:

1)

2) .

Изгиб круглой пластинки

Круглую пластинку удобнее рассматривать в полярных координатах. Тогда, при осесимметричной деформации прогибы w( r) так же будут функцией одной координаты r и уравнение Софии Жермен принимает вид:

В развернутой форме уравнение изгиба круглой пластинки будет таким:

(25)

Решение неоднородного дифференциального уравнения (25) с переменными коэффициентами состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения w = wоб + wч и имеет вид

(26)

где постоянные Ci определяются из граничных условий.

В сплошных круглых пластинках (рис. 8(а)) коэффициенты С2 и С4 уравнения (26) необходимо принять равными нулю, т. к. при r = 0 lnr ® ¥, тем более, что для наружного края пластинки у нас только два граничных условия.

В пластинках с кольцевым вырезом (рис. 8(б)) граничные условия записываются для наружного и внутреннего краев – по два на каждом. В уравнении (25) необходимо искать все четыре константы.

Выражения для усилий в круглой пластинке.

Для круглой пластинки в полярных координатах выражения для изгибающих моментов (рис. 9) и поперечных сил можно получить из аналогичных выражений в декартовых координатах, заменив соответствующие производные:

Тогда:

(27)

(28)

(29)

Наибольшие напряжения в круглой пластинке так же возникают в наружных слоях и определяются по выражениям (24).

Первая задача контрольной работы

Варианты 0-15

Плоская задача теории упругости (расчет балки – стенки)

Дана прямоугольная полоса – балка (рис. 10) длиной l, высотой h и толщиной, равной 1. Выражения для функции напряжений j(x,y) выбрать из

таблицы 1, числовые значения - из таблицы 2. Объемными силами пренебречь. Требуется:

1) проверить, можно ли предложенную функцию j(x,y) принять для решения плоской задачи теории упругости. В этих целях использовать бигармоническое уравнение совместности:

, (7)