Основы теории упругости Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников строительных специальностей высших учебных заведений (стр. 1 )

Федеральное агентство по образованию

Рязанский институт (филиал)

Государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Московский государственный открытый университет»

Основы теории упругости

Методические указания

и контрольные задания для

студентов-заочников строительных специальностей

высших учебных заведений

Рязань

2009

УДК 539.3

Н – 59

Рецензенты:

профессор, д. т.н.

профессор кафедры промышленного и гражданского строительства РИ(ф) МГОУ, к. т.н.

Печатается по решению методического совета вуза

Основы теории упругости. Методические указания для студентов-заочников строительных специальностей вузов. СоставиРязанский институт (филиал) Государственного образовательного учреждения «Московский государственный открытый университет», 2009

В методических указаниях даны необходимые сведения о плоской задаче теории упругости и изгибе пластин. Даны задания для выполнения контрольной работы по курсу теории упругости.

Приведены примеры по определению напряженного состояния балки-стенки, бесконечного клина и решения задачи изгиба жесткой пластинки обратным методом.

© Рязанский институт (филиал) МГОУ, 2009

Методические указания

к выполнению контрольной работы по курсу «Теория упругости»

Теория упругости изучает напряженное и деформированное состояние твердого упругого тела, вызванные различными внешними воздействиями. Аналогичными вопросами занимается и сопротивление материалов, но по отношению к стержневым системам.

Основной объем теоретической части курса «Теория упругости», который в соответствии с ГОС специальности 290300 ПГС должны освоить студенты заочной формы обучения, можно представить в виде трех главных разделов:

— плоская задача теории упругости;

— задачи прикладной теории упругости (изгиб пластинки);

— численные методы интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости.

В контрольную работу по курсу входят две задачи. Задача №1 на тему «Плоская задача теории упругости» и задача №2 «Изгиб пластинки». Задача №1 имеет два варианта: плоская задача в декартовых координатах «расчет балки-стенки» - номера 1÷15 и плоская задача в полярных координатах «расчет бесконечного клина» - номера 16÷27, в зависимости от номера задачи. Номер задачи выбирается по шифру зачетной книжки студента.

Ниже приводятся краткие сведения их теории.

Постановка задачи теории упругости

Объектом исследования данного курса главным образом служит пластина, нагруженная либо внешними усилиями, лежащими в плоскости пластинки (рис. 1,а), либо направленными нормально к срединной поверхности (рис. 1.б).

В первом случае имеет место плоская задача теории упругости, во втором - изгиб пластинки.

В общем виде задача теории упругости может быть сформулирована следующим образом: известен объект исследования (геометрические размеры, материал, условия опирания заданного объекта, действующая на объект нагрузка). Требуется определить:

для плоской задачи: три функции напряжений — sx(x,y), sy(x,y), txy(x,y); три функции деформаций — ex(x,y), ex(x,y), gxy(x,y) и две функции перемещений — u(x,y), v(x,y). Поскольку задача плоская, то все функции, описывающие напряженно-деформированное состояние области являются функциями двух координат;

при изгибе пластинки: функцию прогиба w(x,y), определив которую несложно получить выражения для внутренних усилий и значения напряжений.

Плоская задача теории упругости в декартовых координатах

При решении плоской задачи можно использовать:

два дифференциальных уравнения равновесия (1) - уравнения Навье:

(1)

одно уравнение совместности деформаций в напряжениях (2):

(2)

где — дифференциальный оператор (гармонический оператор Лапласа),

три уравнения Каши (3), связывающих деформации и перемещения:

(3)

три уравнения закона Гука, связывающих деформации и напряжения. При плоском напряженном состоянии они имеют вид:

(4)пнс

в случае плоской деформации:

(4)пд

y Yn n sx a x txy Xn sy Рис. 2

Решая систему из трех дифференциальных уравнений (1) и (2) с использованием статических граничных условий (5),

Xn = sxl + txym,

Yn = txyl + sym, (5)

связывающих внешние усилия с напряжениями внутри тела у поверхности (рис. 2), можно найти выражения для напряжений.

В выражении (5) l = cosα и m = sinα – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности тела.

Далее, по закону Гука (4) определяются деформации и, по соотношениям Каши, перемещения. Такой путь решения задачи принято называть – решение в напряжениях.

Если воспользоваться соотношениями Эри (6):

(6)

то решение плоской задачи можно свести к решению одного уравнения (7), которое называется бигармоническим уравнением совместности:

(7)

Соотношения Эри записаны в предположении, что внешними объемными силами пренебрегаем.

Замкнутого решения уравнения (7) не получено, хотя доказана единственность его решения. Поэтому при решении задачи прямым методом используют численные методы интегрирования: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационные методы. При решении плоской задачи обратным методом, когда решением, т. е. функцией j(x,y) задаемся и проверяем каким граничным условиям оно соответствует, довольно часто используется решение в полиномах. Функция напряжений j(x,y) в этом случае принимается в виде алгебраического многочлена. Алгоритм решения в полиномах используется при выполнении первой задачи.

Плоская задача теории упругости в полярных координатах

При решении плоской задачи в полярных координатах ряд инженерных задач удается решить путем непосредственного интегрирования исходных дифференциальных уравнений. Ориентация и обозначение напряжений в полярной системе координат показано на рис. 3.

Основные уравнения в полярных координатах имеют вид:

уравнения равновесия:

(8)

уравнение совместности деформаций в напряжениях:

(9)

где Ñ2 - гармонический оператор Лапласа в полярных координатах:

, (10)

соотношения Эри и бигармоническое уравнение совместности:

(11)

(12)

Несмотря на более громоздкий вид уравнений плоской задачи в полярных координатах для ряда инженерных задач удается найти решение в замкнутом виде.

Одной из таких задач является задача о простом радиальном напряженном состоянии, когда при интегрировании уравнений (8) и (9) получают следующее напряженное состояние: