Основы теории упругости Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников строительных специальностей высших учебных заведений (стр. 5 )

Уравнения равновесия выполняются.

6. Анализируем напряженное состояние в точке А.

,

.

Вычисляем главные напряжения.

=29,25 ± 79,1,

s1 = 108.3 МПа, s2 = - 49,85 МПа.

Находим положение главных площадок.

Напряженное состояние в точке А с учетом знаков напряжений показано на рис. 17.

Задача № 1 (варианты 16-27). Клин, нагруженный силой в вершине

Р=100 кН

b

y

 

a a

q 1 м

a/2 r

sr sy

I 1 2 3 4 5 I

sx txy

x

Рис. 18

Для клина с углом полураствора a = 30º и толщиной, равной 1, нагруженного в вершине силой Р = 100 кН/м, расположенной под углом b = 60º к оси симметрии клина (рис. 18), требуется вычислить напряжения σr, σx, σy, τxy в сечении I – I и построить эпюры этих напряжений.

1. Вычислим значения постоянных k и q0 в выражении для sr, воспользовавшись соотношениями (14) и (15) .

=

=

=559 кН.

= q0=87˚.

2. Для построения эпюр напряжений выберем 5 точек в сечении I–I, угловая координата этих точек принята с шагом q = p/6 (15˚). Вычисление напряжений сведем в таблицу 6, поскольку в выражения для напряжений (16) и (17) – (19) входят одни и те же тригонометрические функции с разными значениями углов q. Таблицу 6 удобно заполнить, используя программный комплекс Microsoft Office Excel.

Таблица 6

	Искомая функция	Угол q
-p/6 (-30˚)	-p/12 (-15˚)	0˚	p/12 (15˚)	p/6 (30˚)
1	Cosq	0,866	0,966	1	0,966	0,866
2	Sinq	-0,5	-0,259	0	0,259	0,5
3	Cos2q	0,75	0,933	1	0,933	0,75
4	Sin2q	0,25	0,067	0	0,067	0,25
5	sinq∙cosq	-0,433	-0,25	0	0,25	0,433
6	R	1,155	1,035	1	1,035	1,155
7	cos(q-q0)	-0,454	-0,208	0,052	0,309	0,545
8	sr	220	112	-29	-167	-263
9	sx	165	105	-29	-156	-198
10	sy	55	7,5	0	-11	-66
11	txy	-95	-28	0	-42	-114

3. По полученным значениям строим эпюры (рис. 19).

220

sr

264

165 sx

198

55 66 sy

95 114 txy

Рис. 19

Если рассматривать эту задачу с использованием методов сопротивления материалов, то она может быть сведена к расчету стержня прямоугольного

Рх

Ру

a 347 433 s

I I

txy

2atga 97

Рис. 20 Рис. 21

сечения переменной высоты, испытывающего деформации поперечного изгиба силой Ру = Psinb, создающей изгибающий момент М = Ру∙а и поперечную силу Q = Ру, и сжатия продольной силой N = – Рх = – Pcosb (рис. 20).

Предварительно запишем геометрические характеристики сечения I–I:

площадь сечения

А = bh = 1∙2atga = 2∙1∙0,577 = 1,154 м2 ,

момент сопротивления

Wz = bh2/6 = 1∙1,1542/6 = 0,222 м3,

момент инерции

Iz = bh3/12 = 1∙1,1543/12= 0,128 м4,

статический момент отсеченной части для половины сечения

Sотс = bh2/8 = 1∙1,1542/8 = 0,144 м3.

Сила Рх в сечении I–I будет вызывать нормальные напряжения sх, равномерно распределенные по сечению с площадью А.

.

Усилие Ру, создающее изгибающий момент и поперечную силу, будет, в свою очередь, вызывать нормальные и касательные напряжения. Изгибающий момент дает следующие напряжения в крайних точках 1 и 5 сечения I–I:

,

максимальные касательные напряжения будут в середине прямоугольного сечения:

.

Суммарная эпюра sx и эпюра txy показаны на рис. 21.

По теории изгиба бруса напряжения sу принимаются равными нулю.

Сравнивая результаты, полученные при аналитическом решении задачи теории упругости, с результатами, получаемыми по методам сопротивления материалов, видим, что имеет место не только количественное, но и качественное отличие. Так по другому закону распределяются касательные напряжения, в стержне переменного сечения нельзя пренебрегать нормальными напряжениями sу.

Задача 2. Расчет пластинки на изгиб

На прямоугольную пластинку (рис. 22) с размерами в плане a = b = 4м действует поперечная нагрузка

В качестве функции прогиба предлагается выражение:

Требуется:

1. Установить, каким граничным условиям удовлетворяет предложенное уравнение упругой поверхности w(x,y).

2. Найти постоянный коэффициент «С» из условия, что предложенная функция w(x,y) удовлетворяет уравнению изгиба пластинки (20).

3. Составить выражения моментов и поперечных сил по известным формулам для этих усилий (21) – (23).

4. Построить эпюры моментов и поперечных сил для заданных сечений

I – I и II – II. (В контрольной работе эпюры строятся для одного сечения).

Решение.

1. Для выяснения граничных условий найдем выражения для прогибов, углов поворота и изгибающих моментов на кромках пластинки (см. параграф «Запись условий опирания»). Вначале вычислим соответствующие производные от функции прогиба: