Лекции по теоретическим основам электротехники Основы теории цепей (стр. 8 )

Рис. 28

На рис. 28 представлены основные характеристики пассивных элементов: сопротивления, индуктивности и емкости. Здесь - масштабные коэффициенты для соответствующих параметров цепи. Так как основные характеристики представляют собой прямые линии, данные элементы являются линейными. Поскольку дифференцирование и интегрирование являются линейными операциями, напряжения на линейных индуктивности и емкости, и , линейно зависят от тока i при любом законе изменения тока во времени (, ). Относительно сопротивления, линейная зависимость напряжения от тока является очевидной ().

Линейность основных характеристик приводит к линейности вольт - амперных характеристик (ВАХ) рассматриваемых элементов (см. раздел 10).

Примеры ВАХ пассивных элементов электрической цепи для переменного (синусоидального) тока приведены на рис. 29.

Рис. 29

Величины , , являются амплитудными значениями напряжений на индуктивности и емкости и тока, протекающего через эти элементы, соответственно; - круговая частота синусоидального тока.

Цепи, состоящие только из линейных элементов, называются линейными цепями. Электромагнитные явления в линейных цепях описываются линейными алгебраическими уравнениями (постоянный ток) или линейными интегро-дифференциальными уравнениями (переменный ток).

Линейными называются цепи, в которых выполняется принцип наложения.

Принцип наложения (суперпозиции) является важным свойством линейных цепей, вытекающим из уравнений, описывающих протекающие в этих цепях процессы.

Принцип наложения (суперпозиции) звучит следующим образом: реакция цепи (токи, напряжения на участках цепи) на сумму воздействий (источники э. д.с. и токов) равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

При этом предполагается, что цепь свободна от начальных запасов энергии.

Принцип наложения лежит в основе важнейших методов расчета линейных цепей: метода наложения, операторного метода, спектрального метода, метода интеграла Дюамеля и др.

Математическую запись принципа наложения и его практического применение рассмотрим в дальнейшем изложении.

В линейных цепях все связи (формулы) между характерными величинами линейны. Линейность ВАХ для каждого элемента приводит к линейной зависимости токов в любых ветвях и напряжений на любых участках электрической цепи:

(81)

Соотношения типа (81) вытекают из линейных уравнений, описывающих цепь, и принципа наложения, выполняющегося только в линейных цепях.

В дальнейшем будем рассматривать линейные электрические цепи.

Теория электрических цепей делится на теорию цепей с сосредоточенными параметрами и теорию цепей с распределенными параметрами.

Электрические цепи, которые с хорошей степенью точности можно описать моделями, представляющими совокупность некоторых самостоятельно существующих элементов r, L, C, сосредоточенных в различных точках цепи, называют цепями с сосредоточенными параметрами. На рис. 30 приведена схема элементарной электрической цепи с сосредоточенными параметрами.

Рис. 30

Теоретически предполагается, что на участке "ab" сосредоточено все сопротивление цепи (электромагнитная энергия переходит в тепловую энергию только на участке "ab"). На участке "bd" сосредоточена вся емкость цепи (энергия электромагнитного поля существует в виде энергии электрического поля). На участке "dm" сосредоточена вся индуктивность цепи (энергия электромагнитного поля существует в виде энергии магнитного поля).

Большой класс практически важных задач с хорошей инженерной точностью может быть решен при использовании представления цепи в виде цепи с сосредоточенными параметрами.

Дальнейшее изложение посвящено исследованию и методам расчета линейных цепей с сосредоточенными параметрами.

14. Основные законы электрических цепей с сосредоточенными

параметрами

Свойства любой электрической цепи могут быть определены и исследованы при анализе уравнений, составленных на основе физических законов, описывающих электромагнитные явления, происходящие в этой цепи.

Одно из самых интересных открытий в физике – законы сохранения. Применяя, например, закон сохранения энергии в механике, можно обнаружить связь между состояниями механической системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами [9]. В ядерной физике применение законов сохранения энергии привело к открытию элементарных частиц.

В электромагнетизме фундаментальными законами природы являются законы сохранения энергии и заряда. Математическим отражением этих законов в теории цепей являются законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса (уравнение баланса мощностей). Фундаментальность законов Кирхгофа и уравнений, составленных на их основе, обусловлена фундаментальностью тех законов природы, которые они математически отражают. Фактически, теория цепей является математическим и физическим исследованием уравнений, составленных на основе законов Кирхгофа для различных режимов работы электрических цепей.

14.1. Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи. Этот закон математически вытекает из принципа непрерывности полного электрического тока (20), (21). Он является частным случаем закона (21).

Рис. 31

К узлам цепи подходят проводники (рис. 31). Следовательно, сквозь поверхность S проходят только токи проводимости:

(82)

Согласно (21), имеем:

. (83)

В формуле (83) положительными направлениями токов считаются направления, совпадающие с положительным направлением нормали к поверхности S. Поскольку (83) представляет собой алгебраическую сумму токов, равную нулю, выбор положительных направлений токов при расчетах произволен.

Первый закон Кирхгофа (83) формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов в ветвях, связанных общим узлом электрической цепи, равна нулю.

Или: сумма токов, вытекающих из узла электрической цепи, равна сумме токов, втекающих в этот узел.

Первый закон Кирхгофа является математической записью закона сохранения заряда в цепи в единицу времени (см. (4), (5)), т. е. какое количество заряда подходит к узлу цепи, такое же количество заряда и отходит от этого узла в единицу времени. Заряд в цепи не возникает и не уничтожается, он сохраняется неизменным.

14.2. Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи.

Второй закон Кирхгофа математически отражает закон сохранения энергии, приходящейся на единицу заряда в выбранном контуре цепи. Он вытекает из формулы (36).

Возьмем контур, содержащий n пассивных элементов цепи и n источников э. д.с. Применяя (36) к такому контуру, получим:

, (84)

. (85)

Подставляя (84) и (85) в (36), имеем:

. (86)

Формула (86) представляет собой математическую запись второго закона Кирхгофа:

Алгебраическая сумма напряжений в контуре равна алгебраической сумме э. д.с., действующих в этом контуре.

Положительные направления напряжений и э. д.с. совпадают с выбранным обходом контура. Если направления напряжений на элементах контура и направления э. д.с., действующих в контуре, не совпадают с выбранным обходом контура, то они входят в формулу (86) с отрицательным знаком.

Применим (36) к простейшей цепи с сосредоточенными параметрами, состоящей из одного контура (рис. 32).

Рис. 32

,

. (87)

Используя связь напряжений и токов на пассивных элементах цепи (см. таблицу 1), получим:

. (88)

Выражение (88) есть математическая запись второго закона Кирхгофа для схемы цепи, приведенной на рис. 32. В общем случае, если число сопротивлений, индуктивностей и емкостей контура, а также число э. д.с., действующих в контуре, равно n, то математическая запись второго закона Кирхгофа примет вид:

. (89)

Пример. Для цепи, схема которой приведена на рис. 33, составить уравнения для узла "b" по первому закону Кирхгофа и для контура "abca" по второму закону Кирхгофа.

Рис. 33

Запишем уравнение для узла "b" по первому закону Кирхгофа: