Теорема Пифагора и её применение (стр. 2 )

Алгебраическая формулировка:В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: .

Геометрическая формулировка: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Такие наборы чисел называют пифагоровыми числами или пифагоровыми тройками. Некоторые Пифагоровы тройки:

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50).

Пифагоровы тройки имеют большое значение в геометрии. Их знание упрощает вычисления при решении многих математических задач.

Различные методы доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Знакомясь с разными способами доказательства теоремы Пифагора, мы заметили, что одни из них основаны на свойстве равносоставленных фигур, другие – на дополнении до равных фигур, а третьи – на свойстве равновеликих фигур (имеющие равные площади).

Приведём несколько доказательств этой теоремы.

В школьных учебниках в основном приводят алгебраические доказательства. Но суть теоремы в геометрии, так что в первую очередь рассмотрим те доказательства знаменитой теоремы, которые опираются на эту науку.

Зрительное доказательство.

Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности. Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: на гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному треугольнику АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов, что породило следующее стихотворение: «Пифагоровы штаны — на все стороны равны». Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. (Слайд 6)

Колесо с лопастями (Аддитивный способ доказательства)

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. Доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое "колесом с лопастями", приведено на рисунке. Здесь: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; О - центр квадрата, построенного на большем катете; пунктирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе. Легко видеть, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Теорема доказана.

Алгебраическое доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с (рис.). Докажем, что . Достроим треугольник до квадрата со сторонойа+bтак, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и квадрата со стороной с, поэтому. Таким образом: ⇒⇒. Теорема доказана.

Через подобные треугольники.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Обозначим: b, .                  Получаем:⇒ Складываем a2 и b2: или  .     Теорема доказана.

Древнеиндийское доказательство.

Данный рисунок иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XIIв.) Рисунок сопровождает лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теорем Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Историки считают, что Бхаскара выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей четырех треугольников 4() и площади квадрата со стороной, равной разности катетов.

Доказательство Евклида

Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АGКС. Тогда сумма площадей квадратов на катетах будет равна площади квадрата на гипотенузе. В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD, а углы между ними равны как тупые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

SABD = 0,5S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=0,5S ABFH (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH. Аналогично, если вы проведёте отрезок АЕ используете равенство треугольников ВСК и АСЕ, то докажете, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать.

Доказательство Пифагора (Слайд 7)

Геометрическое доказательство, приписываемое Пифагору. Построим квадрат, сторона которого равняется сумме катетов a и b данного прямоугольного треугольника. Разделим этот квадрат на два квадрата и на два равных прямоугольника со сторонами a и b.
В свою очередь, разделим эти прямоугольники на четыре равных прямоугольных треугольника I, II, II, IV. Укладывая эти треугольники так, как показывает рисунок, получим посредине квадрат . Отсюда следует, что квадрат со стороной a+b, уменьшенный на 2ab, дает в первом случае , а во втором , и значит . Теорема доказана.

Социологический опрос (Слайд 8)