Теорема Пифагора и её применение (стр. 3 )

Вопрос о количестве доказательств теоремы Пифагора является сегодня довольно актуальным, именно поэтому мы решили провести социологический опрос среди учащихся 8-9 классов с целью выявить, какое количество доказательств знают не учёные и не исследователи данного вопроса, а обыкновенные люди. Вот результаты:

Вопрос 1:Кто был первым «открывателем» теоремы Пифагора: Пифагор Самосский или египтяне?

Ответили 27 человек, из которых 9 человек сказали, что первыми «открывателями» знаменитой теоремы были египтяне, остальные утверждали, что именно Пифагор Самосский открыл эту теорему. Эти данные говорят о том, что всё-таки немногие знают или догадываются, что Пифагор не был первым её «открывателем», но он первым вывел доказательство этой теоремы, которая носит сегодня его имя.

Вопрос 2: Сколько существует доказательств теоремы Пифагора: около 50; 100; 250; более 350 доказательств?

Из 27 человек большинство (15 человек) согласны с тем, что существует 250 доказательств теоремы Пифагора, 6 человек сказали, что на сегодняшний день известно всего лишь 50 доказательств, и только 6 человек правильно ответили на вопрос, сказав, что сегодня известно более 350 доказательств этой теоремы. Исходя из полученной информации, можно сделать вывод о том, что людям неизвестно точное количество доказательств теоремы Пифагора Самосского: может быть, их это не интересует, хотя нам кажется, что такая известная теорема должна привлекать внимание, особенно учащихся.

Практическое применение теоремы Пифагора

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

Планиметрия и стереометрия.

Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.

	Диагональ d квадрата со сторонойа можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d2=a2+a2, откуда: d2=2a2; d=a
	Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d2=a2+b2 .
	Высота h равностороннего треугольника со сторонойаможет рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом, имеем a2=h2+ , тогда h2=a2. Значит: .

Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. Они имеют место в стереометрии.

Диагональ куба, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами треугольника служат ребра куба и диагональ квадрата, лежащего в основании. Отсюда имеем: d2=a2+(a2+a2) ⇒d2=3a2⇒ d=a
Диагональ прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение: d2=(a2+b)2+c2 ⇒ d=
Исследуем правильную пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат, и высота которой проходит через центр этого квадрата. Пусть сторона квадрата – а, высота пирамиды – h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды). Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов – высота h, а другой – половина диагонали квадрата .
В следствие этого имеем: ⇒⇒ Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней: ⇒ или ⇒

Землемерие. (Слайд 9)

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Воз­никла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означа­ет «треугольник»). Раньше с помощью тригонометрии научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями. Эта наука нашла применение в землемерии.

Дляпостроения прямых углов при планировке земельных участков исооружения зданий землемерами употреблялся удобный и очень точный способ, известный с древних времён. Воспроизведём его. Возьмем веревку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м от одного конца и 4 м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В настоящее время плотники применяютдеревянный угольник. Известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Строительство и архитектура. (Слайд 10)

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны:

1) ширине окна (b) - для наружных дуг

2) половине ширины для внутренних дуг.

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. и, следовательно, радиус равен . И тогда становится ясным и положение ее центра.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке справа. Если b обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R =  и r = .

Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна + p, один катет равен , а другой– p.

По теореме Пифагора имеем:

⇒

⇒⇒⇒.