Теорема Пифагора и её применение (стр. 6 )

Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш на 5 чи к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?
Решение: x-глубина воды, x+1 – длина камыша. a=5, b= x, c= x+1. ; ; ; – глубина воды; 12+1=13 чи – длина камыша. Ответ: 12 чи и 13 чи.
Задача 4. Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу" Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания?
	Решение: x – высота бамбука после сгибания. a=x; b= 3; c=10-x (10-x)2=x2-9; -20x=9-100, -20x=-109, x=109/20 чи. Ответ: x= 5,45 чи.

Задача 5. Задачи индийского математика XII века Бхаскары.

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?
Ответ: 8 футов.

Задача 6. Задача арабского математика XI в.

На двух приусадебных участках растет по березе, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой березы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности бассейна между березами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой березы появилась рыба?

Решение:

В треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 =302+х2=900+х2;в треугольнике АЕС:

АС2= СЕ2+АЕ2 =202+(50 – х)2 =400+2500 – 100х+х2=2900 – 100х+х2.

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. ПоэтомуАВ2 =АС2 , 900+х2 =2900 – 100х+х2,100х=2000,х=20, АD=20.

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой березы.

Ответ: 20 локтей.

Задача 7. Задача древних индусов

«Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?»

Приложение 3.

Теорема Пифагора в литературе.

Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают рассказы, стихи, песни, картины.

Уделом истины не может быть забвенье

Как только мир ее увидит

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь как в день ее рожденья

За светлый луч с небес вознес благодаренье

Мудрец богам не так, как было до тех пор

Ведь целых сто быков послал он под топор

Чтоб их сожгли как жертвоприношенье

Быки с тех пор, как только весть услышат

Что новой истины уже следы видны

Отчаянно мычат и ужаса полны

Им Пифагор навек внушил тревогу

Не в силах преградить той истине дорогу

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.

Сказка «Дом».

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удивительный город — город Теорем.

Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предложил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты.

С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-новому. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного треугольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась, и они попросили ее остаться навсегда в их доме. По вечерам эта дружная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать приходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора».

(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).

Художник (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу».

Картина передает пафос преклонения учеников легендарной школы перед единой гармонией, царящей в мироздании («космосе»), музыке и числе.

В Греции была выпущена почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: «Теорема Пифагора. Эллас. 350 драхм».

Эта красивая марка, на которой изображен математический факт: Пифагор – это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор – «убеждающий речью»).

Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный, гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

Приложение 4.

Задачи прикладного характера.

Мореходство. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?
Авиация.
Пилоты получили задание обработать земельный участок в совхозе для посадки овощей. Вертолет при обработке поднимался вверх вертикально со скоростью 4 м/с. Определить скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально, равна 3 м/с.
Строительство
Между двумя фабричными зданиями устроен желоб для подачи материалов. Расстояние между зданиями равно 15 м, а концы желоба расположенный на высоте 12 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба.
Военные дело.
На линии фронта с нашей стороны расположены три огневые позиции. Расстояние между ними 160 лопат (длина одной лопаты 0,5 м)  Напротив первого орудия появились танки на расстояние до них 60 м. Помогите сделать расчёт для наводчиков второго и третьего орудия.
Криминалистика
Из хранилища имеющего одно окно на высоте 8 м, пропали драгоценности. Холмс обратил внимание, что на заднем дворе валялась лестница длиной 10 м, и на земле под окном нашел две вмятины на расстоянии 6 м от стены. Преступник проник через окно! Сделал заключение Холмс. Прав ли он?
Проектирование
При проектировании торгового центра запланирована постройка эскалатора для подъёма на высоту 2,5 м под углом 30° к горизонту. Найдите длину эскалатора (в метрах).
Мобильная связь.
Спутник связи Билайн находится на высоте 1500 км над Казанью. Качественная связь обеспечивается на расстоянии 1700 км от спутника. На каком расстоянии от Казани будет качественная связь.
Пифагорова головоломка
Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E, F, K, L – середины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ ^ EF, NF ^ EF.

Приложение 5.

Задачи модуля «Геометрия» ОГЭ по математике 9 класс.

1)  В треугольнике ABC AC=4, BC=3, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

2)  Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

3)  Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.

4)  Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

5)  Высота равностороннего треугольника равна 15. Найдите его периметр.

6)  В треугольнике ABC AB=BC=53, AC=56. Найдите длину медианы BM.

7)  Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39.

8)  Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 15. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

9)  От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 15 м. Вычислите длину провода. Ответ дайте в метрах.

10)  Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

11)  Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

12)  Лестница соединяет точки A и B и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 30 см, а длина – 40 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

13)  Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=5 и HD=8. Найдите площадь ромба.

14)  Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 15, а AB=4.