Теорема Пифагора и её применение (стр. 4 )

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки.

В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC = а м и AB = BF?

Треугольник ADC – равнобедренный, причем AB = BC = м, BF = м. Если предположить, что FD = b м, тогда:

- из треугольника DBC: DB = ( – b) м,

= .

- из треугольника ABF: == .

Взяв за основу эту задачу, мы решили исследовать двускатную крышу детского сада № 7 по и проверить, выполняется ли для неё теорема Пифагора. (Слайд 11)

Проведя измерения крыши, получили следующие результаты: длина балки - 12 м, высота – 3,7 м. Двускатная крыша в сечении – равнобедренный треугольник: AB=BC=6 м, BF=3,7 м. Тогда длину стропила вычисляем по теореме Пифагора: м. Учитывая погрешность измерения, приходим к выводу, что строители крыши при строительстве применили известную теорему.

Рассчитаем площадь кровли, воспользовавшись одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон.

Оно гласит: «Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь».

Найдём перекрываемую площадь S=ab; a= 12 м, b=50 м, тогда S=12·50=600 м2. Длина стропила - 7 м, длина проекции этого стропила (половина балки) - 6 м. Поверхность крыши 600·7:6=700 м2.

При проектировании любых строительных объектов возникает необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по известным сторонам.

Физика. Молниеотвод. (Слайд 12)

Теорема Пифагора нашла своё применение и в физике для определения высоты молниеотвода. Мы считаем, что молниеотвод обязательно должен быть на зданиях, где находятся люди. Гроза и ее непременный атрибут молния – атмосферное явление, таящее в себе достаточно большую опасность. Достаточно сказать, что в год в мире от удара молнии гибнет более 3000 человек (что гораздо больше числа погибших в авиакатастрофах), а материальный ущерб исчисляется миллиардами долларов.

Определим наименьшую доступную высоту молниеотвода на двускатной крыше детского сада.

Учтём, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.
По плану размеры крыши a=50м и b=12м, высоту молниеотвода обозначим через h. О – основание молниеотвода. Расстояние от основания молниеотвода до предмета s.

Если установить молниеотвод на углу крыши, то расстояние от основания молнеотвода до предмета – это диагональ крыши, значит по теореме Пифагора ; h=51,4:2=25,7м.

Если установить молниеотвод на крыше посередине её длины, то расстояние от основания молниеотвода до предмета: , h=27, 7:2=13,85м.

Если установить молниеотвод на крыше посередине её ширины, то расстояние от основания молнеотвода до предмета: , h=50:2=25м.

Если установить молниеотвод посередине крыши, то расстояние от основания молнеотвода до предмета:

s= , h= 25,7:2 = 12,85 м - наименьшая доступная высота молниеотвода.

Значит, оптимальное положение молниеотвода посередине крыши.

Из расчетов видно, что высота молниеотвода очень высокая. Можно установить два стержневых молниеотвода. Тогда их высоты должны быть не менее 6,43 м, а если учесть ещё и высоту крыши 3,7 м, то высоты молниеотводов должны быть не менее 2,73 м.

Таким образом, знание теоремы Пифагора пригодится нам и в изучении физики.

Применение в мобильной связи.

Конец формы

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора.

При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу (Слайд 13):

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе R, если известно, что радиус Земли равен 6 380 км?

Согласно свойству касательной: Δ ВСО – прямоугольный (∠С=90°). Пусть AB = h км, BC = R км, OC = r = 6380 км, OB = OA + AB, OB = r + h Используя теорему Пифагора, получаем: ⇒ ⇒. Итак, высота вышки должна быть: км.

В Интернете нашли информацию о технических характеристиках вышки сотовой связи и решили эту задачу.

Решение (Слайд 14):

А) Если известен радиус зоны покрытия R=20 км, то используя предыдущие вычисления, получим:км = 31 м – высота вышки.

Решим обратную задачу:

Б) Если известна высота вышки h= 50 м = 0,05 км, то используя предыдущие вычисления, получим: ⇒⇒⇒R=

Как видим, область применения теоремы достаточно обширна: мобильная связь, архитектура, землемерие, строительство.

Литература. (Слайды 15 -18)

Мало кто знает, что Пифагор имел отношение не только к математике, но и к литературе. Он и его теорема воспеты в литературе. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие. Не всякое математическое положение удостаивается такого внимания поэтов и писателей.

Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,

Но, воссияв, рассеется навряд

И, как тысячелетия назад,

Не вызовет сомнения и спора.

Мудрейшие, когда коснется взора

Свет истины, богов благодарят;

И сто быков, заколоты, лежат –

Ответный дар счастливца Пифагора.

С тех пор быки отчаянно ревут:

Навеки всполошило бычье племя

Событие, помянутое тут.

Им кажется: вот-вот настанет время,

И сызнова их в жертву принесут

Какой-нибудь великой теореме.

(перевод Виктора Топорова)

Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе, например, в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для

частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон».

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы - рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле "Рюрик", написал следующие стихи: