Функцию будем определять численно.

В частном случае при формула примет вид

.

Проинтегрировав ее, запишем

Константу определим из условия :

.

Определим параметр при из условия, что

,

откуда

.

Если , то параметр явно выразить не удается.

Из последнего равенства следует

.

Выразим :

.

Условие заданности расстояния в физической плоскости запишем в виде

Соотношения и представляют собой систему двух нелинейных уравнений для определения параметров и .

Вычислим силу и момент, действующие на стенку с помощью интегральных соотношений. Выделим в области течения контрольный объем, проведя через удаленные точки сечения, перпендикулярные осям струй. Границу контрольного объема обозначим где – стенка, – сечения, – свободная поверхность. Запишем уравнение изменения количества движения применительно к этому объему [6].

Здесь – плотность жидкости, – вектор скорости, – нормальная скорость, – внешняя нормаль, и – давления в жидкости и в окружающей среде соответственно, – элемент длины контура .

Сила, действующая на стенку со стороны жидкости очевидно равна

Так как всюду на струях , то

Но всюду на границах контрольного объема за исключением сечений, проведенных в точках . Тогда

Имеем:

В точке :

В точке :

В точке:

Поэтому

Или

Формула позволяет подсчитать коэффициент гидродинамической силы , если известны

Теперь запишем уравнение моментов количества движения:

где – радиус-вектор текущей точки интегрирования. Так как задача плоская, то под векторным произведением будем понимать проекции этого векторного произведения на ось .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Искомый момент

Заметим, что на струях , получаем

Учитываем, что всюду, кроме сечений в точках Тогда

Проведем оси струй в удаленных точках . Обозначим через и расстояния этих осей до начала координат. Знак совпадает со знаком алгебраического момента вектора по отношению к началу координат. Знак определяется также, то есть совпадает со знаком алгебраического момента вектора , направленного по лучу .

После вычисления интегралов получим

.

Формула позволяет найти коэффициент момента действующего на стенку.

§3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Для проведения расчетов разработан алгоритм и составлена программа для ЭВМ на языке Fortran. Проведено несколько серий расчетов для построения формы границ струи. Во всех расчетах полагалось .

В первой серии расчетов, носившей тестовый характер, рассмотрен вышеупомянутый частный случай при . Результаты, полученные в первой главе при помощи аналитического решения (показано линиями), полностью совпали с решением (показано точками).

0.00000

1.00000

0.00000

0.00000

0.86603

-1.70427

0.00000

0.50000

-2.31792

Во второй серии расчетов для построения картины натекания струи жидкости на угол будем интегрировать численно. Для проведения численных расчетов в программе Fortran использовали подпрограмму DQDAGS, которая использует адаптированную схему, уменьшающую абсолютную ошибку. Подпрограмма делит отрезок [a, b] на подынтервалы и использует 21-точное правило Гаусса-Крондрода для оценки интеграла на каждом подынтервале. Оценка ошибки на каждом подынтервале выполняется путем сравнения результата с величиной, получаемой 10-точным квадратурным правилом Гаусса.

.

0.07132

0.68846

3.42819

0.10280

0.62837

1.85487

0.23192

-0.1768

-1.23693

0.41615

0.66358

2.31748

1.22910

0.21202

-1.09118

Рис. 18.

0.68239

1.31761

3.44797

0.81761

1.18239

3.06817

2

0.96161

1.03839

2.49595

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена задача о натекании струи жидкости на угловую пластинку. В частном случае, при котором угол – развернутый, численное решение полностью совпало с аналитическим, полученным в настоящей работе. С помощью интегральных теорем найдены сила и момент, действующие на пластинку. Проведены числовые расчеты, демонстрирующие влияние наклона струи и сдвига ее оси на геометрию течения и силовые характеристики.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Franc, J.-P. Michel, J.-M. 2004 Fundamentals of Cavitation. Fluid Mechanics and its Applications, vol. 76, Kluwer Academic.

2.  Alexey G. Terentiev, Ivan N. Kirschner, James S. Uhlman.

The hidrodinamics of cavitating flow, 2011 Backbone Publishing Company.

3.  О натекании струи на стенку произвольной конфигурации, 2014

4.  Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536с.

5.  А., Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736с.

6.  Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1973. 584с

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4