Кафедра аэрогидромеханики 010800.62 – Механика и математическое моделирование Выпускная бакалаврская работа Несимметричное натекание струи на угол (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКИ

– МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ВЫПУСКНАЯ БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА

НЕСИММЕТРИЧНОЕ НАТЕКАНИЕ СТРУИ НА УГОЛ

Работа завершена:

«___»___________2015г. _____________

Работа допущена к защите:

Научный руководитель

Кандидат физ.-мат. наук, доцент

«___»___________2015г. _______________

Заведующий кафедрой:

Доктор физ.-мат. наук, профессор

«___»___________2015г _________________

Казань – 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Введение........................................................................................................... 3

Глава I. Несимметричное натекание струи жидкости на плоскую пластину 4

§1. Постановка задачи............................................................................. 4

§2. Решение.............................................................................................. 5

§3. Результаты расчетов.......................................................................... 9

§4. Выводы............................................................................................. 15

Глава II. Несимметричное натекание струи жидкости на угловую пластину 16

§1. Постановка задачи........................................................................... 16

§2. Решение............................................................................................ 17

§3. Результаты расчетов........................................................................ 25

Заключение.................................................................................................... 29

Список используемой литературы............................................................... 30

ВВЕДЕНИЕ

Широкий круг проблем гидромеханики сводится к постановке задач об отыскании потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) в области, ограниченной частично твердыми стенками, а частично – свободной поверхностью.

Первые задачи по теории струй были поставлены и решены Г. Гельмгольцем и Г. Кирхгофом. Существенный вклад в эту теорию был внесен и . Современное состояние теории струй описано в книгах [1, 2].

Метод особых точек позволяет получить решение многих задач теории струй в достаточно простой аналитической форме. К числу таких задач относится и задача о натекании струи жидкости конечной ширины на пластинку. Постановку этой задачи можно найти во многих монографиях по теории струй. Метод расчета натекания струи на криволинейную стенку предложен в работе [3].

В первой главе работы рассмотрена задача о натекании струи на плоскую пластинку под углом. Решение построено с использованием плоскости годографа скорости в аналитическом виде. Проведено исследование формы струи, построены линии тока, а также распределение скорости и коэффициента давления по поверхности плоской пластинки.

Во второй главе рассмотрена задача о натекании струи на угол. Решение было построено с помощью метода параметризации, вычисление интегралов проводилось численно. В частном случае, при котором угол – развернутый, численное решение полностью совпало с аналитическим.

Глава I

НЕСИММЕТРИЧНОЕ НАТЕКАНИЕ СТРУИ

ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКУЮ ПЛАСТИНУ

§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В физической плоскости струя невесомой ИНЖ натекает на пластинку под углом к пластинке со скоростью на бесконечности Расход жидкости в струе задан и равен . Обозначим точкой источник течения на бесконечности. Точкой – точку разветвления потока. Точки и – бесконечно удаленные точки струй, образующиеся после ударения струи о пластинку. Выберем систему координат с началом в точке , направим ось вдоль пластинки.

Требуется построить форму струи, распределение скорости и коэффициент давления по поверхности пластинки, а также линии тока.

.

§2. РЕШЕНИЕ

Введем в рассмотрение функцию годографа скорости в параметрической области :

.

Тогда область изменения параметрического переменного будет сектор в виде половины круга Это обосновывается тем, что в физической плоскости на границе течения, которая проходит вдоль пластинки, направление скорости сохраняет свое постоянное значение. Поэтому прямой в физической плоскости, будет соответствовать отрезок в плоскости годографа, причем направление и сохраняется. На другой границе течения, являющейся свободной поверхностью, модуль скорости сохраняет постоянное значение, поэтому ей будет соответствовать верхняя полуокружность, так как область течения при обходе должна оставаться слева.

Теперь, определим координаты точек в плоскости . Для этого вычислим комплексно сопряженную скорость в этих точках:

;

;

;

.

Подставляя эти значения в определим, что точки в параметризованной области будут иметь координаты:

;

;

;

.

Решим поставленную задачу при помощи метода особых точек Чаплыгина [4]. Этот метод состоит в том, что, прежде всего, анализируя поведение искомой функции комплексного переменного, находят все её нули и особенности в области течения и соответственно в области изменения параметрического переменного.

Так как область в параметрической плоскости является полукруг, то функцию методом особых точек построить нельзя, т. к. и на границе контура. Поэтому введем в рассмотрение функцию и найдем все ее нули и особенности. Функция будет иметь в точке нуль второго прядка (так как эта точка является критической), следовательно, производная – нуль первого порядка, а функция нуль второго порядка. В точке располагается источник, поэтому здесь функция имеет полюс первого порядка. В точках и располагаются стоки, поэтому в них имеет также полюсы первого порядка.

Аналитически продолжим функцию на всю плоскость параметрического переменного с помощью принципа симметрии Римана – Шварца [5]. На участке границы , а на , следовательно, нули переходят в нули, а полюсы переходят в полюсы.